Problème — Étude expérimentale complète d'une charge

Le circuit RC · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Étude expérimentale complète d'une charge.

On charge un condensateur initialement déchargé à travers un conducteur ohmique $R = 10 kΩ$ , sous un échelon de tension $E = 6, 0 V$ . Un système d'acquisition donne $τ = 0, 22 s$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_{C} (t)$ .
Vérifier que $u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})$ en est solution et respecte la condition initiale.
En déduire la capacité $C$ du condensateur.
Calculer $u_{C}$ et l'intensité $i$ à $t = τ$ .
Calculer l'énergie stockée à la fin de la charge.

Corrigé

Loi des mailles : $E = u_{R} + u_{C} = R i + u_{C}$ avec $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ . D'où $R C \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = E$ .
Avec $u_{C} = E (1 - e^{- t / τ})$ , on a $\frac{d u _{C}}{d t} = \frac{E}{τ} e^{- t / τ}$ . En remplaçant et sachant $τ = R C$ :

$R C \cdot \frac{E}{R C} e^{- t / τ} + E (1 - e^{- t / τ}) = E e^{- t / τ} + E - E e^{- t / τ} = E .$

L'équation est vérifiée. De plus $u_{C} (0) = E (1 - 1) = 0$ : la condition initiale est respectée.

$C = \frac{τ}{R} = \frac{0 , 22}{10 \times 1 0 ^{3}} = 2, 2 \times 1 0^{- 5} F = 22 μ F$ .
$u_{C} (τ) = 6, 0 (1 - e^{- 1}) \approx 3, 8 V$ . $i (τ) = \frac{E}{R} e^{- 1} = \frac{6 , 0}{10 \times 1 0 ^{3}} \times 0, 37 \approx 2, 2 \times 1 0^{- 4} A = 0, 22 mA$ .
$E_{C} = \frac{1}{2} C E^{2} = \frac{1}{2} \times 22 \times 1 0^{- 6} \times 6, 0^{2} \approx 4, 0 \times 1 0^{- 4} J = 0, 40 mJ$ .