physique-chimie (terminale) · Chapitre 14 · Application directe du cours

Problème — Temporisateur à circuit RC

Le circuit RC · niveau 2

Énoncé

Problème — Temporisateur à circuit RC.

On souhaite réaliser un temporisateur qui déclenche une alarme lorsque la tension aux bornes d'un condensateur, en charge sous $E = 12 V$ , atteint le seuil $u_{seuil} = 8, 0 V$ . On dispose de $C = 220 μ F$ .

Exprimer l'instant $t_{1}$ où $u_{C} = u_{seuil}$ en fonction de $τ$ .
On veut $t_{1} = 5, 0 s$ . Calculer $τ$ puis la résistance $R$ nécessaire.
Quelle est l'intensité du courant à l'instant $t_{1}$ ?

Corrigé

$u_{C} (t_{1}) = E (1 - e^{- t_{1} / τ}) = u_{seuil}$ , donc $e^{- t_{1} / τ} = 1 - \frac{u _{seuil}}{E}$ et

$t_{1} = - τ ln (1 - \frac{u _{seuil}}{E}) = τ ln (\frac{E}{E - u _{seuil}}) .$

Numériquement, $ln (\frac{12}{12 - 8 , 0}) = ln (3, 0) \approx 1, 10$ . Donc $τ = \frac{t _{1}}{1 , 10} = \frac{5 , 0}{1 , 10} \approx 4, 5 s$ . On en déduit $R = \frac{τ}{C} = \frac{4 , 5}{220 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 2, 1 \times 1 0^{4} Ω = 21 kΩ$ .
$i (t_{1}) = \frac{E}{R} e^{- t_{1} / τ} = \frac{E - u _{seuil}}{R} = \frac{12 - 8 , 0}{2 , 1 \times 1 0 ^{4}} \approx 1, 9 \times 1 0^{- 4} A = 0, 19 mA$ .

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