Résoudre la charge pas à pas : la méthode d'Euler

Résoudre la charge pas à pas : la méthode d'Euler. On étudie la charge d'un condensateur sous l'échelon $E=10\mathrm{V}$, avec $\tau =1,0\mathrm{s}$ et $u_C(0)=0$. Sans utiliser la solution exacte, on calcule des valeurs approchées $u_n$ de $u_C$ aux instants $t_n=n\Delta t$, avec un pas $\Delta t=0,20\mathrm{s}$, en remplaçant la dérivée par un taux d'accroissement : $\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}\approx \frac{u_{n+1}-u_n}{\Delta t}$.

• À partir de l'équation différentielle de la charge, montrer que $u_{n+1}=u_n+\frac{\Delta t}{\tau }(E-u_n)$.
• Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.
• Comparer $u_5$ à la valeur exacte $u_C(1,0\mathrm{s})$. La méthode surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle la tension ? Justifier qualitativement à l'aide de l'allure de la courbe de charge.
• Montrer que $E-u_{n+1}=\left(1-\frac{\Delta t}{\tau }\right)(E-u_n)$, et en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. Comment rendre l'approximation plus précise ?