Les deux uraniums de la Terre

Les deux uraniums de la Terre. L'uranium naturel contient aujourd'hui deux isotopes radioactifs : l'uranium 238 ($t_{1/2}=4,47\times 10^9$ ans) et l'uranium 235 ($t_{1/2}=7,04\times 10^8$ ans). Le rapport actuel de leurs nombres de noyaux vaut $r=\frac{N_{235}}{N_{238}}=7,25\times 10^{-3}$.

• Calculer les constantes radioactives ${\lambda }_{235}$ et ${\lambda }_{238}$, en ${\text{an}}^{-1}$.
• On note $t$ la durée écoulée depuis un instant où le rapport valait $r_0$. Montrer que $r=r_0{e}^{-({\lambda }_{235}-{\lambda }_{238})t}$. Comment le rapport évolue-t-il au cours du temps ?
• Dans un modèle simplifié, on suppose que les deux isotopes ont été produits en quantités égales ($r_0=1$) lors de l'explosion d'étoiles qui ont précédé la formation du Système solaire. Estimer la durée écoulée depuis cette production. Comparer à l'âge de la Terre, environ $4,5$ milliards d'années.
• Il y a deux milliards d'années, des réactions nucléaires se sont déclenchées naturellement dans un gisement d'uranium au Gabon (Oklo), ce qui exige un rapport $r$ de quelques pour cent. Calculer le rapport à cette époque et conclure.