Problème — Datation d'un site préhistorique

• De son vivant, l'organisme échange en permanence du carbone avec l'atmosphère (alimentation, respiration) : la proportion de ${}^{14}\mathrm{C}$ y reste constante. À la mort, les échanges cessent : le ${}^{14}\mathrm{C}$ se désintègre sans être renouvelé, et l'activité décroît exponentiellement.
• De $A=A_0{e}^{-\lambda t}$ avec $\lambda =\frac{\ln 2}{t_{1/2}}$ :

$$t=\frac{1}{\lambda }\ln \frac{A_0}{A}=\frac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln \frac{A_0}{A}.$$

• Numériquement :

$$t=\frac{5730}{0,693}\times \ln \frac{13,6}{3,1}=8268\times \ln (4,39)\approx 8268\times 1,48\approx 1,2\times 10^4\text{ans}.$$

Le fragment date d'environ $12000$ ans : fin du Paléolithique.