Problème — Datation potassium-argon d'une roche volcanique

Décroissance radioactive · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Datation potassium-argon d'une roche volcanique.

Le potassium 40 se désintègre (entre autres) en argon 40, gaz qui reste piégé dans la roche après sa solidification, avec une demi-vie $t_{1/2} = 1, 25 \times 1 0^{9}$ ans. Lors d'une éruption, la lave dégaze entièrement : à la solidification, la roche ne contient pas d'argon. On analyse une roche volcanique : elle contient $N_{K} = 3, 0 \times 1 0^{18}$ noyaux de $^{40} K$ et $N_{A r} = 0, 60 \times 1 0^{18}$ noyaux de $^{40} Ar$ issus de la désintégration (on admet ici que chaque désintégration produit un argon).

Exprimer le nombre initial $N_{0}$ de noyaux de potassium en fonction de $N_{K}$ et $N_{A r}$ .
Établir l'expression de l'âge $t$ de la roche.
Calculer $t$ .

Corrigé

Chaque noyau d'argon provient d'un noyau de potassium disparu : $N_{0} = N_{K} + N_{A r} = 3, 6 \times 1 0^{18}$ .
De $N_{K} = N_{0} e^{- λ t}$ :

$t = \frac{t _{1/2}}{ln 2} ln \frac{N _{0}}{N _{K}} = \frac{t _{1/2}}{ln 2} ln (1 + \frac{N _{A r}}{N _{K}}) .$

Numériquement :

$t = \frac{1 , 25 \times 1 0 ^{9}}{0 , 693} \times ln (1 + \frac{0 , 60}{3 , 0}) = 1, 80 \times 1 0^{9} \times ln (1, 20) \approx 1, 80 \times 1 0^{9} \times 0, 182 \approx 3, 3 \times 1 0^{8} ans .$

La roche s'est solidifiée il y a environ $330$ millions d'années — l'échelle des temps géologiques, inaccessible au carbone 14.