Problème — Le radon dans une cave

Application directe du cours · niveau 1 (application) · physique-chimie (terminale), chapitre 15 — Décroissance radioactive

Énoncé

Problème — Le radon dans une cave.

Le radon 222 ( $_{86}^{222} Rn$ ) est un gaz radioactif naturel issu des roches granitiques ; il s'accumule dans les sous-sols mal ventilés et constitue la première source d'exposition naturelle de la population. Dans une cave fermée, un détecteur mesure une activité volumique initiale $a_{0} = 800 Bq \cdot m^{- 3}$ ; le seuil d'action retenu est $300 Bq \cdot m^{- 3}$ . Données : $t_{1/2} (^{222} Rn) = 3, 8$ jours, désintégration $α$ ; numéro atomique du polonium : $Z = 84$ .

Écrire l'équation de la désintégration du radon 222 et identifier le noyau fils.
Calculer la constante radioactive $λ$ du radon 222, en $s^{- 1}$ .
En déduire le nombre de noyaux de radon contenus dans un mètre cube d'air de cette cave à l'instant initial.
La cave restant fermée et aucun radon nouveau n'y entrant, calculer l'activité volumique au bout de $7, 6$ jours.
Au bout de combien de jours l'activité volumique passe-t-elle sous le seuil de $300 Bq \cdot m^{- 3}$ ?

Corrigé

1. Une désintégration $α$ émet un noyau d'hélium $_{2}^{4} He$ ; la conservation de $A$ donne $222 = A + 4$ , soit $A = 218$ , et celle de $Z$ donne $86 = Z + 2$ , soit $Z = 84$ : le noyau fils est le polonium 218.

$_{86}^{222} Rn ⟶_{84}^{218} Po +_{2}^{4} He (α)$

2. La demi-vie et la constante radioactive sont liées par $t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$ . En secondes, $t_{1/2} = 3, 8 \times 24 \times 3600 = 3, 28 \times 1 0^{5} s$ , donc

$λ = \frac{ln 2}{t _{1/2}} = \frac{0 , 693}{3 , 28 \times 1 0 ^{5}} \approx 2, 1 \times 1 0^{- 6} s^{- 1} .$

3. L'activité est liée au nombre de noyaux par $a = λ n$ , d'où, pour un mètre cube d'air :

$n = \frac{a _{0}}{λ} = \frac{800}{2 , 1 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 3, 8 \times 1 0^{8} noyaux par m e ˋ tre cube .$

Un nombre énorme de noyaux pour une activité pourtant faible : chaque noyau a une très petite probabilité de se désintégrer par seconde.

4. $7, 6$ jours $= 2 t_{1/2}$ : l'activité est divisée par $2^{2} = 4$ :

$a = \frac{a _{0}}{4} = \frac{800}{4} = 2, 0 \times 1 0^{2} Bq \cdot m^{- 3} .$

5. De $a = a_{0} e^{- λ t}$ on tire

$t = \frac{t _{1/2}}{ln 2} ln \frac{a _{0}}{a} = \frac{3 , 8}{0 , 693} \times ln \frac{800}{300} \approx 5, 48 \times 0, 981 \approx 5, 4 jours .$

Il suffit donc de quelques jours de décroissance pour repasser sous le seuil : c'est pourquoi la ventilation, qui évacue le radon au fur et à mesure de son arrivée, est la parade la plus efficace.

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