Radon : désintégration et ventilation

Radon : désintégration et ventilation. Dans une pièce, l'air contient du radon 222 (demi-vie $t_{1/2}=3,8$ jours), dont l'activité volumique vaut $a_0=800\mathrm{Bq}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$ à l'instant où l'on met en marche une ventilation. On suppose qu'à partir de cet instant aucun radon nouveau n'entre dans la pièce. La ventilation évacue chaque heure une fraction de l'air : on modélise son effet en admettant que, pendant une durée $\mathrm{d}t$, elle fait disparaître de la pièce $kN\mathrm{d}t$ noyaux de radon, avec $k=0,50{\mathrm{h}}^{-1}$, $N$ étant le nombre de noyaux de radon présents.

• Calculer la constante radioactive $\lambda$ du radon 222, en ${\mathrm{h}}^{-1}$.
• Montrer que $N$ vérifie l'équation différentielle $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-(\lambda +k)N$ et en donner la solution.
• L'activité volumique est proportionnelle à $N$. Calculer sa valeur au bout de $3,0\mathrm{h}$ de ventilation ; la comparer à celle obtenue sans ventilation.
• Calculer la durée nécessaire pour que l'activité volumique passe sous le seuil de $300\mathrm{Bq}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$.
• Quelle fraction des noyaux de radon disparus est évacuée par la ventilation plutôt que par désintégration ? Conclure sur le meilleur moyen de lutter contre le radon dans un logement.