Combien de temps pour vider une cuve ?

Combien de temps pour vider une cuve ? Une cuve cylindrique ouverte, de section $S=0,50{\mathrm{m}}^2$, contient initialement de l'eau sur une hauteur $h_0=1,25\mathrm{m}$ au-dessus d'un orifice de section $s=2,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ percé dans le fond. On note $h(t)$ la hauteur d'eau à l'instant $t$. On admet qu'à chaque instant la vitesse de sortie est donnée par la formule de Torricelli, $v=\sqrt{2gh}$, et on prend $g=9,81\mathrm{N}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$.

• Calculer la vitesse de sortie et le débit volumique à l'instant initial.
• Pendant une durée $\mathrm{d}t$, le volume d'eau sorti par l'orifice est égal à la diminution du volume d'eau de la cuve. En déduire que $\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-\frac{s}{S}\sqrt{2gh}$.
• On pose $y=\sqrt{h}$. Montrer que $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{s}{2S}\sqrt{2g}$, et en déduire que $\sqrt{h}$ décroît linéairement au cours du temps.
• En déduire l'expression de la durée $T$ de vidange complète, puis sa valeur.
• Comparer $T$ à la durée qu'il faudrait si le débit gardait sa valeur initiale. Interpréter.