La couronne du roi Hiéron

La couronne du roi Hiéron. Selon la légende, Archimède dut vérifier si une couronne était en or pur. On suspend la couronne à un dynamomètre : il indique $F_1=14,70\mathrm{N}$ dans l'air, puis $F_2=13,80\mathrm{N}$ lorsque la couronne est entièrement immergée dans l'eau (${\rho }_e=1,00\times 10^3\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$). On néglige la poussée d'Archimède de l'air et on prend $g=9,81\mathrm{N}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$. Masses volumiques : or $19,3\times 10^3\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$ ; argent $10,5\times 10^3\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$.

• Faire le bilan des forces exercées sur la couronne immergée, immobile. En déduire l'expression de la poussée d'Archimède en fonction de $F_1$ et $F_2$, puis sa valeur.
• En déduire le volume de la couronne.
• Calculer la masse de la couronne, puis sa masse volumique.
• La couronne est-elle en or pur ? Montrer que le rapport $\frac{F_1}{F_1-F_2}$ donnait directement la réponse.