Problème — Château d'eau et pression au robinet

Mécanique des fluides · niveau 2

Énoncé

Problème — Château d'eau et pression au robinet.

Un château d'eau alimente une maison. La surface libre du réservoir est à $z_{1} = 35 m$ au-dessus du robinet ( $z_{2} = 0$ ). On donne $P_{atm} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ et $ρ = 1, 0 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ .

Robinet fermé (eau immobile), calculer la pression de l'eau juste derrière le robinet.
Robinet ouvert, l'eau sort à l'air libre. En négligeant les frottements, calculer la vitesse de sortie.
La vitesse réelle est nettement plus faible. Proposer une explication.

Corrigé

Eau au repos : loi de la statique (ou Bernoulli avec $v = 0$ partout) :

$P_{2} = P_{atm} + ρ g z_{1} = 1, 0 \times 1 0^{5} + 1, 0 \times 1 0^{3} \times 9, 81 \times 35 \approx 4, 4 \times 1 0^{5} Pa,$

soit environ $4, 4 bar$ : la hauteur du château d'eau fixe la pression du réseau.

Bernoulli entre la surface libre ( $P_{atm}$ , $v \approx 0$ , $z_{1}$ ) et le jet ( $P_{atm}$ , $v_{2}$ , $z_{2} = 0$ ) — c'est Torricelli à grande échelle :

$v_{2} = 2 g z_{1} = 2 \times 9, 81 \times 35 \approx 26 m \cdot s^{- 1} .$

La relation de Bernoulli néglige les frottements : sur des dizaines de mètres de canalisations étroites, coudes et vannes, une grande partie de l'énergie est dissipée (pertes de charge). La vitesse réelle au robinet est de l'ordre de quelques $m \cdot s^{- 1}$ seulement.