Problème — Débitmètre de Venturi

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique-chimie (terminale), chapitre 16 — Mécanique des fluides

Énoncé

Problème — Débitmètre de Venturi.

Dans une conduite horizontale, un débitmètre de Venturi présente une section $S_{1} = 20 c m^{2}$ en amont et $S_{2} = 5, 0 c m^{2}$ dans l'étranglement. Des capteurs mesurent une différence de pression $P_{1} - P_{2} = 7, 5 \times 1 0^{3} Pa$ pour de l'eau ( $ρ = 1, 0 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ ).

Exprimer $v_{2}$ en fonction de $v_{1}$ .
À l'aide de la relation de Bernoulli, établir l'expression de $v_{1}$ en fonction de $P_{1} - P_{2}$ , $ρ$ et du rapport $S_{1} / S_{2}$ .
Calculer $v_{1}$ puis le débit volumique $Q_{V}$ .

Corrigé

Conservation du débit : $v_{2} = \frac{S _{1}}{S _{2}} v_{1} = 4, 0 v_{1}$ .
Bernoulli à l'horizontale ( $z_{1} = z_{2}$ ) :

$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) = \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} [(\frac{S _{1}}{S _{2}})^{2} - 1]$

d'où

$v_{1} = \frac{2 ( P _{1} - P _{2} )}{ρ [ ( S _{1} / S _{2} ) ^{2} - 1 ]} .$

Avec $(S_{1} / S_{2})^{2} - 1 = 16 - 1 = 15$ :

$v_{1} = \frac{2 \times 7 , 5 \times 1 0 ^{3}}{1 , 0 \times 1 0 ^{3} \times 15} = 1, 0 = 1, 0 m \cdot s^{- 1},$

$Q_{V} = S_{1} v_{1} = 20 \times 1 0^{- 4} \times 1, 0 = 2, 0 \times 1 0^{- 3} m^{3} \cdot s^{- 1} = 2, 0 L \cdot s^{- 1} .$

La seule mesure de $Δ P$ donne le débit : c'est le principe du débitmètre.

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