Problème — La montgolfière

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique-chimie (terminale), chapitre 16 — Mécanique des fluides

Énoncé

Problème — La montgolfière.

Une montgolfière a un volume $V = 2200 m^{3}$ . L'air extérieur a une masse volumique $ρ_{ext} = 1, 22 kg \cdot m^{- 3}$ ; l'air chaud intérieur, $ρ_{int} = 0, 95 kg \cdot m^{- 3}$ . La masse de l'enveloppe, de la nacelle et de l'équipement vaut $m_{0} = 260 kg$ .

Exprimer puis calculer la poussée d'Archimède exercée par l'air extérieur sur la montgolfière.
Calculer le poids total (équipement + air chaud intérieur).
Quelle masse maximale de passagers la montgolfière peut-elle soulever ?

Corrigé

Le « fluide déplacé » est l'air extérieur :

$Π = ρ_{ext} V g = 1, 22 \times 2200 \times 9, 81 \approx 2, 63 \times 1 0^{4} N .$

La masse d'air chaud intérieur vaut $m_{air} = ρ_{int} V = 0, 95 \times 2200 = 2090 kg$ . Le poids total (hors passagers) :

$P = (m_{0} + m_{air}) g = (260 + 2090) \times 9, 81 \approx 2, 31 \times 1 0^{4} N .$

La montgolfière décolle tant que $Π \geq P + m_{pass} g$ :

$m_{pass} \leq \frac{Π - P}{g} = \frac{2 , 63 \times 1 0 ^{4} - 2 , 31 \times 1 0 ^{4}}{9 , 81} \approx 3, 3 \times 1 0^{2} kg .$

Environ $330 kg$ de charge utile : quatre passagers. Pour monter davantage, le pilote chauffe l'air (diminue $ρ_{int}$ , donc le poids intérieur).

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