Problème — Renflouement d'une amphore

Application directe du cours · niveau 1 (application) · physique-chimie (terminale), chapitre 16 — Mécanique des fluides

Énoncé

Problème — Renflouement d'une amphore.

Des archéologues sous-marins remontent une amphore romaine posée sur un fond de sable à la profondeur $h = 18 m$ . L'amphore, pleine de sédiments, a une masse $m = 32 kg$ et un volume $V = 1, 2 \times 1 0^{- 2} m^{3}$ . On donne $ρ = 1, 03 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ pour l'eau de mer, $P_{atm} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ et $g = 9, 81 N \cdot k g^{- 1}$ .

Calculer la pression de l'eau au niveau de l'amphore, en $Pa$ puis en bar ( $1 bar = 1 0^{5} Pa$ ).
Calculer le poids de l'amphore.
Calculer la poussée d'Archimède qu'elle subit, entièrement immergée.
Un câble la soulève à vitesse constante. Quelle est la valeur $F$ de la force exercée par le câble tant que l'amphore est sous l'eau ?
Quelle force le câble doit-il exercer une fois l'amphore sortie de l'eau ? Comparer avec la valeur précédente.
Plutôt qu'un câble, les plongeurs fixent à l'amphore un ballon de levage, de poids négligeable, qu'ils gonflent d'air jusqu'au volume $V_{b}$ . Ce ballon subit une poussée $Π_{b} = ρ V_{b} g$ . Quel volume $V_{b}$ permet tout juste de compenser la force $F$ calculée à la question 4 ?

Corrigé

1. La pression croît avec la profondeur selon la loi de la statique des fluides :

$P = P_{atm} + ρ g h = 1, 0 \times 1 0^{5} + 1, 03 \times 1 0^{3} \times 9, 81 \times 18 \approx 2, 8 \times 1 0^{5} Pa,$

soit environ $2, 8 bar$ : l'eau ajoute près de $1, 8 bar$ à la pression atmosphérique.

2. Poids de l'amphore :

$P_{amph} = m g = 32 \times 9, 81 \approx 3, 1 \times 1 0^{2} N .$

3. L'amphore étant entièrement immergée, le volume de fluide déplacé est son volume total :

$Π = ρ V g = 1, 03 \times 1 0^{3} \times 1, 2 \times 1 0^{- 2} \times 9, 81 \approx 1, 2 \times 1 0^{2} N .$

4. À vitesse constante, les trois forces se compensent : le câble tire vers le haut, la poussée pousse vers le haut, le poids tire vers le bas, donc $F + Π = P_{amph}$ :

$F = P_{amph} - Π = 313, 9 - 121, 3 \approx 1, 9 \times 1 0^{2} N .$

C'est le poids apparent de l'amphore dans l'eau.

5. Hors de l'eau, la poussée d'Archimède de l'air est négligeable et le câble supporte tout le poids : $F^{'} = P_{amph} \approx 3, 1 \times 1 0^{2} N$ , soit environ $1, 6$ fois plus que sous l'eau. C'est au moment où l'objet franchit la surface que l'effort augmente brutalement.

6. Le ballon remplace le câble lorsque sa poussée vaut $F$ , c'est-à-dire $ρ V_{b} g = F$ :

$V_{b} = \frac{F}{ρ g} = \frac{192 , 7}{1 , 03 \times 1 0 ^{3} \times 9 , 81} \approx 1, 9 \times 1 0^{- 2} m^{3},$

soit environ $19 L$ d'air : un ballon de la taille d'un petit sac suffit à décoller l'amphore du fond.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.