Problème — Comparer deux états initiaux d'une même réaction

1. Tableau d'avancement (en mol) pour le mélange A :

$$n(\text{acide})=1-x,n(\text{alcool})=1-x,n(\text{ester})=x,n(\text{eau})=x.$$

À l'équilibre (les volumes se simplifient) :

$$K=\frac{x^2}{(1-x{)}^2}=4,0⟹\frac{x}{1-x}=2,0,$$

en prenant la racine positive. D'où $x=2,0(1-x)$, soit $3,0x=2,0$ et

$$x_A=0,67\mathrm{mol}.$$

L'acide est le réactif limitant, $x_{\max }=1,0\mathrm{mol}$, donc :

$${\tau }_A=\frac{0,67}{1,0}=0,67=67\%.$$

2. Pour le mélange B :

$$n(\text{acide})=1-x,n(\text{alcool})=3-x,n(\text{ester})=x,n(\text{eau})=x.$$

À l'équilibre :

$$K=\frac{x^2}{(1-x)(3-x)}=4,0.$$

Soit $x^2=4,0(1-x)(3-x)=4,0(3-4x+x^2)$, d'où

$$x^2=12-16x+4x^2⟹3x^2-16x+12=0.$$

Discriminant : $\Delta =16^2-4\times 3\times 12=256-144=112$, $\sqrt{\Delta }=10,6$. Les racines :

$$x=\frac{16\pm 10,6}{6}.$$

La racine $x=\frac{16+10,6}{6}=4,4$ est à rejeter ($x\le 1$). On retient :

$$x_B=\frac{16-10,6}{6}=\frac{5,4}{6}=0,90\mathrm{mol}.$$

L'acide étant limitant, $x_{\max }=1,0\mathrm{mol}$, donc :

$${\tau }_B=\frac{0,90}{1,0}=0,90=90\%.$$

3. La constante $K=4,0$ est la même dans les deux cas, mais le taux d'avancement passe de ${\tau }_A=67\%$ à ${\tau }_B=90\%$. L'état initial influence le taux d'avancement final : en introduisant un excès de l'un des réactifs (ici l'alcool), on déplace l'équilibre dans le sens direct et on consomme davantage le réactif limitant. La constante $K$, elle, ne dépend que de la température.