Problème — Le sulfate de calcium dans l'eau : une dissolution limitée

Application directe du cours · niveau 1 (application) · physique-chimie (terminale), chapitre 2 — Évolution d'un système chimique vers l'état d'équilibre

Énoncé

Problème — Le sulfate de calcium dans l'eau : une dissolution limitée.

Le sulfate de calcium anhydre $CaSO X_{4}$ est le constituant du gypse, dont on tire le plâtre. Sa dissolution dans l'eau est modélisée par :

$CaSO X_{4} (s) Ca X^{2 +} + SO X_{4} X^{2 -}, K = 4, 9 \times 1 0^{- 5} a ˋ 25^{\circ} C$

On introduit $n_{0} = 1, 0 \times 1 0^{- 2} mol$ de sulfate de calcium solide dans $V = 1, 0 L$ d'eau distillée, puis on agite jusqu'à l'état final. Donnée : $M (CaSO X_{4}) = 136 g \cdot mo l^{- 1}$ .

Donner l'expression du quotient de réaction $Q_{r}$ associé à cette équation.
En supposant la dissolution totale, déterminer l'avancement maximal $x_{m a x}$ et les concentrations des ions en solution.
Calculer la valeur que prendrait $Q_{r}$ dans cet état, la comparer à $K$ et en déduire que la dissolution ne peut pas être totale.
À l'état final, il reste du solide et les ions vérifient $[Ca X^{2 +}] = [SO X_{4} X^{2 -}]$ . Déterminer ces concentrations à l'équilibre.
En déduire l'avancement final $x_{f}$ puis le taux d'avancement final $τ$ .
Calculer la masse de solide non dissous restant au fond du bécher.

Corrigé

1. Le solide $CaSO X_{4}$ n'apparaît pas dans le quotient de réaction ; seules les espèces dissoutes y figurent :

$Q_{r} = [Ca X^{2 +}] [SO X_{4} X^{2 -}]$

2. Si tout le solide se dissolvait, l'avancement vaudrait $x_{m a x} = n_{0} = 1, 0 \times 1 0^{- 2} mol$ . D'après l'équation, $n (Ca X^{2 +}) = n (SO X_{4} X^{2 -}) = x_{m a x}$ , donc

$[Ca X^{2 +}] = [SO X_{4} X^{2 -}] = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{- 2}}{1 , 0} = 1, 0 \times 1 0^{- 2} mol \cdot L^{- 1}$

3. Dans cet état hypothétique :

$Q_{r} = (1, 0 \times 1 0^{- 2})^{2} = 1, 0 \times 1 0^{- 4}$

Or $Q_{r} = 1, 0 \times 1 0^{- 4} > K = 4, 9 \times 1 0^{- 5}$ : le système évoluerait dans le sens inverse, celui de la précipitation du solide. Un tel état ne peut donc pas être l'état final : la dissolution est non totale, du solide subsiste.

4. À l'équilibre, $Q_{r} = K$ . En notant $s$ la concentration commune des deux ions :

$s^{2} = K ⟹ s = 4, 9 \times 1 0^{- 5} = 7, 0 \times 1 0^{- 3} mol \cdot L^{- 1}$

soit $[Ca X^{2 +}] = [SO X_{4} X^{2 -}] = 7, 0 \times 1 0^{- 3} mol \cdot L^{- 1}$ .

5. L'avancement final se lit sur la quantité d'ions formés :

$x_{f} = s \times V = 7, 0 \times 1 0^{- 3} \times 1, 0 = 7, 0 \times 1 0^{- 3} mol$

$τ = \frac{x _{f}}{x _{m a x}} = \frac{7 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{1 , 0 \times 1 0 ^{- 2}} = 0, 70 = 70%$

Le taux étant inférieur à $1$ , la transformation est bien non totale.

6. La quantité de solide restante est $n_{0} - x_{f} = 1, 0 \times 1 0^{- 2} - 7, 0 \times 1 0^{- 3} = 3, 0 \times 1 0^{- 3} mol$ , d'où

$m = (n_{0} - x_{f}) M = 3, 0 \times 1 0^{- 3} \times 136 = 0, 41 g$

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