Problème — Le sulfate de calcium dans l'eau : une dissolution limitée

1. Le solide $\mathrm{CaSO}{}_4$ n'apparaît pas dans le quotient de réaction ; seules les espèces dissoutes y figurent :

$$Q_r=[\mathrm{Ca}{}^{2+}][\mathrm{SO}{}_4{}^{2-}]$$

2. Si tout le solide se dissolvait, l'avancement vaudrait $x_{\max }=n_0=1,0\times 10^{-2}\mathrm{mol}$. D'après l'équation, $n(\mathrm{Ca}{}^{2+})=n(\mathrm{SO}{}_4{}^{2-})=x_{\max }$, donc

$$[\mathrm{Ca}{}^{2+}]=[\mathrm{SO}{}_4{}^{2-}]=\frac{1,0\times 10^{-2}}{1,0}=1,0\times 10^{-2}\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$$

3. Dans cet état hypothétique :

$$Q_r=(1,0\times 10^{-2}{)}^2=1,0\times 10^{-4}$$

Or $Q_r=1,0\times 10^{-4}>K=4,9\times 10^{-5}$ : le système évoluerait dans le sens inverse, celui de la précipitation du solide. Un tel état ne peut donc pas être l'état final : la dissolution est non totale, du solide subsiste.

4. À l'équilibre, $Q_r=K$. En notant $s$ la concentration commune des deux ions :

$$s^2=K⟹s=\sqrt{4,9\times 10^{-5}}=7,0\times 10^{-3}\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$$

soit $[\mathrm{Ca}{}^{2+}]=[\mathrm{SO}{}_4{}^{2-}]=7,0\times 10^{-3}\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$.

5. L'avancement final se lit sur la quantité d'ions formés :

$$x_f=s\times V=7,0\times 10^{-3}\times 1,0=7,0\times 10^{-3}\mathrm{mol}$$

$$\tau =\frac{x_f}{x_{\max }}=\frac{7,0\times 10^{-3}}{1,0\times 10^{-2}}=0,70=70\%$$

Le taux étant inférieur à $1$, la transformation est bien non totale.

6. La quantité de solide restante est $n_0-x_f=1,0\times 10^{-2}-7,0\times 10^{-3}=3,0\times 10^{-3}\mathrm{mol}$, d'où

$$m=(n_0-x_f)M=3,0\times 10^{-3}\times 136=0,41\mathrm{g}$$