Problème — Prévision d'évolution et calcul de la composition à l'équilibre

1. Le quotient initial :

$$Q_{r,i}=\frac{[[\mathrm{Fe}(\mathrm{SCN})]{}^{2+}{]}_i}{[\mathrm{Fe}{}^{3+}{]}_i[\mathrm{SCN}{}^{-}{]}_i}=\frac{0}{2,0\times 10^{-2}\times 2,0\times 10^{-2}}=0.$$

Comme $Q_{r,i}=0<K$, le système évolue dans le sens direct : le complexe $[\mathrm{Fe}(\mathrm{SCN})]{}^{2+}$ se forme.

2. En notant $y$ (en $\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$) la quantité de $\mathrm{Fe}{}^{3+}$ consommée par litre :

$$[\mathrm{Fe}{}^{3+}]=2,0\times 10^{-2}-y,[\mathrm{SCN}{}^{-}]=2,0\times 10^{-2}-y,[[\mathrm{Fe}(\mathrm{SCN})]{}^{2+}]=y.$$

3. À l'équilibre $Q_r=K$ :

$$K=\frac{y}{(2,0\times 10^{-2}-y{)}^2}=1,4\times 10^2.$$

On pose $a=2,0\times 10^{-2}$. L'équation $1,4\times 10^2(a-y{)}^2=y$ se développe en :

$$140y^2-(1+280a)y+140a^2=0,$$

soit, avec $280a=5,6$ et $140a^2=0,056$ :

$$140y^2-6,6y+0,056=0.$$

Le discriminant :

$$\Delta =(6,6{)}^2-4\times 140\times 0,056=43,56-31,36=12,2,$$

$$\sqrt{\Delta }=3,49.$$

Les solutions :

$$y=\frac{6,6\pm 3,49}{280}.$$

La racine $y=\frac{6,6+3,49}{280}=3,6\times 10^{-2}$ est à rejeter (elle dépasse $a=2,0\times 10^{-2}$, ce qui donnerait des concentrations négatives). On retient :

$$y=\frac{6,6-3,49}{280}=\frac{3,11}{280}=1,1\times 10^{-2}\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}.$$

La composition à l'équilibre est donc :

$$[\mathrm{Fe}{}^{3+}]=[\mathrm{SCN}{}^{-}]=2,0\times 10^{-2}-1,1\times 10^{-2}=9,0\times 10^{-3}\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1},$$

$$[[\mathrm{Fe}(\mathrm{SCN})]{}^{2+}]=1,1\times 10^{-2}\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}.$$

Vérification : $\frac{1,1\times 10^{-2}}{(9,0\times 10^{-3}{)}^2}=\frac{1,1\times 10^{-2}}{8,1\times 10^{-5}}\approx 1,4\times 10^2=K$. La cohérence est confirmée.