Problème — Oscilloscope à déviation électrostatique

Mouvements dans un champ uniforme · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Oscilloscope à déviation électrostatique.

Dans un tube cathodique, un électron est d'abord accéléré sous une tension $U_{a} = 2, 0 kV$ , puis pénètre, avec une vitesse horizontale $v_{0}$ , entre deux plaques de déviation de longueur $L = 4, 0 cm$ , distantes de $d = 1, 0 cm$ et soumises à une tension $U = 100 V$ . L'écran est situé à une distance $L^{'} = 20 cm$ du centre des plaques. Données : $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , $m = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ .

Calculer la vitesse $v_{0}$ d'entrée entre les plaques (théorème de l'énergie cinétique).
Établir l'équation de la trajectoire entre les plaques.
Calculer la déviation $Y$ sur l'écran.

Corrigé

1. Vitesse d'entrée. L'accélération initiale convertit l'énergie potentielle électrique en énergie cinétique :

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = e U_{a} ⟹ v_{0} = \frac{2 e U _{a}}{m}$

$v_{0} = \frac{2 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 2 , 0 \times 1 0 ^{3}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 2, 65 \times 1 0^{7} m \cdot s^{- 1}$

2. Trajectoire entre les plaques. Le champ vaut $E = \frac{U}{d} = \frac{100}{1 , 0 \times 1 0 ^{- 2}} = 1, 0 \times 1 0^{4} V \cdot m^{- 1}$ . L'accélération verticale a pour valeur :

$a_{y} = \frac{e E}{m} = \frac{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{4}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 1, 76 \times 1 0^{15} m \cdot s^{- 2}$

Avec $x = v_{0} t$ et $y = \frac{1}{2} a_{y} t^{2}$ , on élimine $t$ :

$y = \frac{a _{y}}{2 v _{0}^{2}} x^{2} = \frac{e U}{2 m d v _{0}^{2}} x^{2}$

3. Déviation sur l'écran. À la sortie des plaques ( $x = L$ ), la déviation et la pente valent :

$y_{S} = \frac{a _{y} L ^{2}}{2 v _{0}^{2}}, tan θ = \frac{v _{y}}{v _{x}} = \frac{a _{y} L}{v _{0}^{2}}$

On montre que la trajectoire rectiligne après les plaques semble issue du centre des plaques. La déviation sur l'écran s'écrit donc :

$Y = \frac{a _{y} L}{v _{0}^{2}} (\frac{L}{2} + L^{'}) = \frac{e U L}{m d v _{0}^{2}} (\frac{L}{2} + L^{'})$

Calcul de $\frac{a _{y} L}{v _{0}^{2}} = \frac{1 , 76 \times 1 0 ^{15} \times 4 , 0 \times 1 0 ^{- 2}}{( 2 , 65 \times 1 0 ^{7} ) ^{2}} \approx 0, 100$ . Avec $\frac{L}{2} + L^{'} = 0, 02 + 0, 20 = 0, 22 m$ :

$Y = 0, 100 \times 0, 22 \approx 2, 2 \times 1 0^{- 2} m = 2, 2 cm$

La tache lumineuse se déplace donc d'environ $2, 2 cm$ sur l'écran.