Problème — Première étape d'un accélérateur linéaire de protons

Application directe du cours · niveau 1 (application) · physique-chimie (terminale), chapitre 8 — Mouvements dans un champ uniforme

Énoncé

Problème — Première étape d'un accélérateur linéaire de protons.

Dans un implanteur ionique utilisé en microélectronique, les protons sont d'abord accélérés dans un premier intervalle : deux électrodes planes et parallèles, distantes de $d = 2, 0 cm$ , sont soumises à une tension $U = 400 V$ . Un proton, initialement au repos au contact de l'électrode positive, traverse cet intervalle où règne un champ électrique uniforme. Données : $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , $m_{p} = 1, 67 \times 1 0^{- 27} kg$ , $g = 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ .

Calculer la valeur du champ électrique $E$ entre les électrodes et préciser son sens.
Calculer la valeur de la force électrique subie par le proton, la comparer à son poids et conclure.
Appliquer la deuxième loi de Newton et calculer la valeur de l'accélération du proton.
Établir les équations horaires $v (t)$ et $x (t)$ , puis calculer la durée $τ$ de la traversée.
En déduire la vitesse de sortie du proton, puis retrouver ce résultat par le bilan d'énergie $Δ E_{c} = e U$ .

Corrigé

1. Entre deux plaques planes parallèles, le champ est uniforme et vaut :

$E = \frac{U}{d} = \frac{400}{2 , 0 \times 1 0 ^{- 2}} = 2, 0 \times 1 0^{4} V \cdot m^{- 1}$

Il est perpendiculaire aux électrodes et dirigé de l'électrode positive vers l'électrode négative, c'est-à-dire dans le sens du déplacement du proton.

2. Le proton porte la charge $q = + e$ : la force électrique $F = e E$ a donc le même sens que $E$ , et pour valeur

$F = e E = 1, 6 \times 1 0^{- 19} \times 2, 0 \times 1 0^{4} = 3, 2 \times 1 0^{- 15} N$

Son poids vaut $P = m_{p} g = 1, 67 \times 1 0^{- 27} \times 9, 8 = 1, 6 \times 1 0^{- 26} N$ , soit $\frac{F}{P} \approx 2 \times 1 0^{11}$ : le poids est totalement négligeable devant la force électrique.

3. Système : le proton ; référentiel du laboratoire, supposé galiléen. La seule force retenue est la force électrique. La deuxième loi de Newton s'écrit $e E = m_{p} a$ : le vecteur accélération est constant, de même sens que $E$ , et

$a = \frac{e E}{m _{p}} = \frac{3 , 2 \times 1 0 ^{- 15}}{1 , 67 \times 1 0 ^{- 27}} = 1, 92 \times 1 0^{12} m \cdot s^{- 2}$

4. Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré selon l'axe $(O x)$ du déplacement, avec $v (0) = 0$ et $x (0) = 0$ . En intégrant successivement :

$v (t) = a t, x (t) = \frac{1}{2} a t^{2}$

La sortie correspond à $x (τ) = d$ :

$τ = \frac{2 d}{a} = \frac{2 \times 2 , 0 \times 1 0 ^{- 2}}{1 , 92 \times 1 0 ^{12}} = 1, 44 \times 1 0^{- 7} \approx 1, 4 \times 1 0^{- 7} s$

5. La vitesse de sortie vaut :

$v = a τ = 1, 92 \times 1 0^{12} \times 1, 44 \times 1 0^{- 7} = 2, 8 \times 1 0^{5} m \cdot s^{- 1}$

Le bilan d'énergie d'un intervalle accélérateur, $\frac{1}{2} m_{p} v^{2} = e U$ , conduit à la même valeur :

$v = \frac{2 e U}{m _{p}} = \frac{2 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 19} \times 400}{1 , 67 \times 1 0 ^{- 27}} = 2, 8 \times 1 0^{5} m \cdot s^{- 1}$

Chaque intervalle supplémentaire de l'accélérateur communiquera de nouveau l'énergie $e U$ au proton.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.