Centrifugeuse d'un laboratoire d'analyses médicales

Mouvement circulaire et gravitation · niveau 2

Énoncé

Centrifugeuse d'un laboratoire d'analyses médicales.

Pour séparer le plasma des globules d'un échantillon de sang, un tube est placé dans une centrifugeuse qui tourne à $N = 12000$ tours par minute. L'échantillon décrit un cercle de rayon $R = 8, 0 cm$ autour de l'axe de rotation, à vitesse constante. On donne $g = 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ .

Calculer la période $T$ du mouvement, puis la vitesse angulaire $ω$ .
En déduire la valeur de la vitesse de l'échantillon, puis celle de son accélération, dont on précisera la direction et le sens.
Comparer cette accélération à $g$ et commenter l'intérêt du dispositif.

Corrigé

1. La fréquence de rotation est $\frac{12 000}{60} = 200$ tours par seconde. La période, durée d'un tour, vaut donc :

$T = \frac{1}{200} = 5, 0 \times 1 0^{- 3} s$

La vitesse angulaire s'en déduit :

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{5 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = 1, 26 \times 1 0^{3} rad \cdot s^{- 1}$

2. Le mouvement est circulaire uniforme, de rayon $R = 8, 0 \times 1 0^{- 2} m$ :

$v = R ω = 8, 0 \times 1 0^{- 2} \times 1, 26 \times 1 0^{3} = 1, 0 \times 1 0^{2} m \cdot s^{- 1}$

La norme de la vitesse étant constante, l'accélération est entièrement normale (centripète). On l'exprime à partir de $ω$ , pour ne pas propager l'arrondi fait sur $v$ :

$a = \frac{v ^{2}}{R} = R ω^{2} = 8, 0 \times 1 0^{- 2} \times (1, 26 \times 1 0^{3})^{2} = 1, 3 \times 1 0^{5} m \cdot s^{- 2}$

Ce vecteur est porté par le rayon et dirigé de l'échantillon vers l'axe de rotation.

3. Le rapport vaut :

$\frac{a}{g} = \frac{1 , 3 \times 1 0 ^{5}}{9 , 8} \approx 1, 3 \times 1 0^{4}$

L'accélération imposée à l'échantillon est environ $13000$ fois celle de la pesanteur. La force centripète nécessaire, $F = m a$ , est donc bien plus grande que le poids : la sédimentation des globules, très lente sous le seul effet de la pesanteur, devient rapide.