Peser une étoile grâce à son exoplanète

Peser une étoile grâce à son exoplanète. En 1995, la première exoplanète découverte autour d'une étoile semblable au Soleil, 51 Pegasi b, a été repérée. Elle décrit autour de son étoile une orbite quasi circulaire de rayon $r=0,0527\mathrm{UA}$ en une période $T=4,23$ jours. Données : $G=6,67\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$, $1\mathrm{UA}=1,50\times 10^{11}\mathrm{m}$, $1\text{jour}=86400\mathrm{s}$, $M_S=2,0\times 10^{30}\mathrm{kg}$. Pour Mercure, en orbite autour du Soleil : $r_M=0,387\mathrm{UA}$ et $T_M=88,0$ jours.

• En appliquant la deuxième loi de Newton à la planète, établir la relation $\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{G{M}_{\star }}$, où $M_{\star }$ est la masse de l'étoile.
• Calculer $M_{\star }$ et la comparer à la masse du Soleil.
• Calculer la vitesse orbitale de la planète, en $\mathrm{km}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.
• Calculer le rapport $\frac{T^2}{r^3}$ pour 51 Pegasi b et pour Mercure (en ${\mathrm{s}}^2\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$). Pourquoi ces deux rapports ne sont-ils pas égaux, contrairement à ce que semble dire la troisième loi de Kepler ? Le rapport de ces deux valeurs est-il cohérent avec la question 2 ?