Problème — Étude complète d'un satellite géostationnaire

• Le satellite doit : orbiter dans le plan équatorial ; tourner dans le sens de rotation de la Terre (d'ouest en est) ; avoir une période égale à la période de rotation propre de la Terre ($\approx 23\mathrm{h}56\min$).
• Système \{satellite\}, référentiel géocentrique galiléen, seule force : l'attraction terrestre, dirigée vers le centre. La 2^e loi de Newton projetée sur ${\overrightarrow{u}}_t$ donne une accélération tangentielle nulle, donc $v$ est constante : le mouvement est circulaire uniforme.
• En projetant sur ${\overrightarrow{u}}_n$ : $G\frac{M_{T}m}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$ avec $v=\frac{2\pi r}{T}$. On obtient :

$$G\frac{M_T}{r^2}=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}⟹r={\left(\frac{G{M}_T{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}.$$

Numériquement :

$$r={\left(\frac{6,67\times 10^{-11}\times 5,97\times 10^{24}\times (86164{)}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}\approx 4,22\times 10^7\mathrm{m}.$$

• Altitude : $h=r-R_T=4,22\times 10^7-6,37\times 10^6\approx 3,6\times 10^7\mathrm{m}$ (environ $36000\mathrm{km}$).
• Vitesse :

$$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi \times 4,22\times 10^7}{86164}\approx 3,1\times 10^3\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1},$$

soit environ $3,1\mathrm{km}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.