Problème — Étude complète d'un satellite géostationnaire

Mouvement circulaire et gravitation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Étude complète d'un satellite géostationnaire.

On souhaite déterminer les caractéristiques d'un satellite de télécommunication géostationnaire. Données : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} \cdot k g^{- 2}$ , $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ , $R_{T} = 6, 37 \times 1 0^{6} m$ , période sidérale $T = 86164 s$ .

Rappeler les trois conditions définissant un satellite géostationnaire.
Montrer que le mouvement d'un satellite en orbite circulaire est uniforme.
Établir l'expression du rayon $r$ de l'orbite en fonction de $T$ , $G$ et $M_{T}$ , puis calculer $r$ .
En déduire l'altitude $h$ du satellite.
Calculer sa vitesse orbitale $v$ .

Corrigé

Le satellite doit : orbiter dans le plan équatorial ; tourner dans le sens de rotation de la Terre (d'ouest en est) ; avoir une période égale à la période de rotation propre de la Terre ( $\approx 23 h 56 min$ ).
Système \{satellite\}, référentiel géocentrique galiléen, seule force : l'attraction terrestre, dirigée vers le centre. La 2^e loi de Newton projetée sur $u_{t}$ donne une accélération tangentielle nulle, donc $v$ est constante : le mouvement est circulaire uniforme.
En projetant sur $u_{n}$ : $G \frac{M _{T} m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r}$ avec $v = \frac{2 π r}{T}$ . On obtient :

$G \frac{M _{T}}{r ^{2}} = \frac{4 π ^{2} r}{T ^{2}} ⟹ r = (\frac{G M _{T} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3} .$

Numériquement :

$r = (\frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 5 , 97 \times 1 0 ^{24} \times ( 86 164 ) ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3} \approx 4, 22 \times 1 0^{7} m .$

Altitude : $h = r - R_{T} = 4, 22 \times 1 0^{7} - 6, 37 \times 1 0^{6} \approx 3, 6 \times 1 0^{7} m$ (environ $36000 km$ ).
Vitesse :

$v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 π \times 4 , 22 \times 1 0 ^{7}}{86 164} \approx 3, 1 \times 1 0^{3} m \cdot s^{- 1},$

soit environ $3, 1 km \cdot s^{- 1}$ .