physique-chimie (terminale) · Chapitre 9 · Application directe du cours

Problème — Vitesse variable sur une orbite elliptique (loi des aires)

Mouvement circulaire et gravitation · niveau 1 (application)

Énoncé

Problème — Vitesse variable sur une orbite elliptique (loi des aires).

Une comète décrit autour du Soleil une orbite elliptique très allongée. Sa distance au Soleil varie entre $d_{P} = 8, 9 \times 1 0^{10} m$ au périhélie et $d_{A} = 5, 3 \times 1 0^{12} m$ à l'aphélie.

Énoncer la deuxième loi de Kepler.
En quel point la comète va-t-elle le plus vite ? Justifier qualitativement.
En modélisant la conservation de la loi des aires par $d_{P} v_{P} = d_{A} v_{A}$ , calculer le rapport $\frac{v _{P}}{v _{A}}$ .

Corrigé

Le rayon vecteur Soleil--comète balaie des aires égales pendant des durées égales (loi des aires).
La comète va le plus vite au périhélie (point le plus proche du Soleil) : pour balayer la même aire pendant une durée donnée alors que le rayon vecteur est court, la comète doit parcourir un arc plus long, donc aller plus vite.
En appliquant $d_{P} v_{P} = d_{A} v_{A}$ :

$\frac{v _{P}}{v _{A}} = \frac{d _{A}}{d _{P}} = \frac{5 , 3 \times 1 0 ^{12}}{8 , 9 \times 1 0 ^{10}} \approx 60.$

La comète va environ $60$ fois plus vite au périhélie qu'à l'aphélie.

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