Deux impulsions qui se croisent : $E=cB$ ne vaut que pour une onde progressive

La stratégie. Chaque impulsion seule est une onde plane progressive : on lui applique la relation de structure avec son vecteur de propagation. La somme se calcule par superposition (linéarité) ; l'énergie, quadratique, se calcule sur le champ total.

1) Deux structures, deux signes. ${\overrightarrow{E}}_1$ est une fonction de $t-x/c$ (à un décalage $D/c$ près) : progressive vers les $x$ croissants, ${\overrightarrow{u}}_1={\overrightarrow{e}}_x$. ${\overrightarrow{E}}_2$ est une fonction de $t+x/c$ : régressive, ${\overrightarrow{u}}_2=-{\overrightarrow{e}}_x$. La relation de structure $\overrightarrow{B}=\frac{\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{E}}{c}$ donne, avec ${\overrightarrow{e}}_x\wedge {\overrightarrow{e}}_y={\overrightarrow{e}}_z$ : $${\overrightarrow{B}}_1=\frac{E_0}{c}r\left(t-\frac{x+D}{c}\right){\overrightarrow{e}}_z,{\overrightarrow{B}}_2=-\frac{E_0}{c}r\left(t+\frac{x-D}{c}\right){\overrightarrow{e}}_z.$$ Vérification par Faraday pour ${\overrightarrow{E}}_2=g(t+x/c){\overrightarrow{e}}_y$ : $\frac{\partial E_y}{\partial x}=\frac{1}{c}{g}^{\prime }=-\frac{\partial B_z}{\partial t}$, d'où $B_z=-\frac{g}{c}$ (en écartant la partie statique). Le signe moins est imposé : le trièdre $(\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{u})$ reste direct quand $\overrightarrow{u}$ se retourne.

2) Chaque impulsion seule. Dans l'impulsion 1, $E=E_0$, $B=E_0/c$ : $$u=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}+\frac{E_0^2}{2{\mu }_0{c}^2}=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}+\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}={\epsilon }_0{E}_0^2,$$ $${\overrightarrow{\Pi }}_1=\frac{1}{{\mu }_0}{E}_0{\overrightarrow{e}}_y\wedge \frac{E_0}{c}{\overrightarrow{e}}_z={\epsilon }_{0}c{E}_0^2{\overrightarrow{e}}_x=uc{\overrightarrow{e}}_x,$$ car ${\mu }_0{c}^2=1/{\epsilon }_0$ : équipartition, et l'énergie avance à $c$. Dans l'impulsion 2, ${\overrightarrow{\Pi }}_2=-{\epsilon }_{0}c{E}_0^2{\overrightarrow{e}}_x$. Chaque impulsion occupe une longueur $c{\tau }_0$ : elle transporte, par unité de surface transverse, l'énergie ${\epsilon }_0{E}_0^{2}c{\tau }_0$. Au total, $2{\epsilon }_0{E}_0^{2}c{\tau }_0$.

3) Le croisement. La première occupe $ct-D-c{\tau }_0<x<ct-D$, la seconde $D-ct<x<D-ct+c{\tau }_0$. Elles coïncident quand $ct-D-c{\tau }_0=D-ct$, soit $$t^{\ast }=\frac{D}{c}+\frac{{\tau }_0}{2},$$ et occupent alors toutes deux $-c{\tau }_0/2<x<c{\tau }_0/2$. Par superposition, dans cette zone : $$\overrightarrow{E}=2E_0{\overrightarrow{e}}_y,\overrightarrow{B}=\frac{E_0}{c}{\overrightarrow{e}}_z-\frac{E_0}{c}{\overrightarrow{e}}_z=\overrightarrow{0},u=\frac{{\epsilon }_0(2E_0{)}^2}{2}=2{\epsilon }_0{E}_0^2,\overrightarrow{\Pi }=\overrightarrow{0}.$$ La relation $E=cB$ est violée : $E=2E_0$ et $B=0$. Aucune contradiction : la relation de structure vaut pour une onde progressive, et la somme d'une progressive et d'une régressive n'en est pas une. L'énergie est toute électrique, le flux d'énergie nul. Bilan : $2{\epsilon }_0{E}_0^2\times c{\tau }_0$ par unité de surface, comme avant : l'énergie est conservée. Ensuite, par linéarité, chaque impulsion continue son chemin et ressort intacte.

4) Pas de terme croisé. Les deux champs électriques sont colinéaires à ${\overrightarrow{e}}_y$ et, par la question 1, $B_{1z}=E_{1y}/c$ et $B_{2z}=-E_{2y}/c$. Donc $${\epsilon }_0{\overrightarrow{E}}_1\cdot {\overrightarrow{E}}_2+\frac{{\overrightarrow{B}}_1\cdot {\overrightarrow{B}}_2}{{\mu }_0}={\epsilon }_0{E}_{1y}{E}_{2y}-\frac{E_{1y}{E}_{2y}}{{\mu }_0{c}^2}={\epsilon }_0{E}_{1y}{E}_{2y}-{\epsilon }_0{E}_{1y}{E}_{2y}=0,$$ $${\overrightarrow{E}}_1\wedge {\overrightarrow{B}}_2+{\overrightarrow{E}}_2\wedge {\overrightarrow{B}}_1=\left(-\frac{E_{1y}{E}_{2y}}{c}+\frac{E_{2y}{E}_{1y}}{c}\right){\overrightarrow{e}}_x=\overrightarrow{0}.$$ Le terme d'interférence électrique est exactement compensé par le terme magnétique : en tout point et à tout instant, $u=u_1+u_2$ et $\overrightarrow{\Pi }={\epsilon }_{0}c(E_{1y}^2-E_{2y}^2){\overrightarrow{e}}_x$ ; chaque impulsion transporte son énergie sans voir l'autre. C'est propre aux ondes de sens opposés : pour deux ondes de même sens, les deux termes croisés sont de même signe et s'ajoutent.

5) Signes opposés, et ordres de grandeur. Si ${\overrightarrow{E}}_2$ change de signe, ${\overrightarrow{B}}_2$ aussi : à $t^{\ast }$, $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{B}=\frac{2E_0}{c}{\overrightarrow{e}}_z$, d'où $u=\frac{(2E_0/c{)}^2}{2{\mu }_0}=2{\epsilon }_0{E}_0^2$ : la même énergie, toute magnétique, et toujours $\overrightarrow{\Pi }=\overrightarrow{0}$. Radar : longueur $c{\tau }_0=2,998\times 10^8\times 1,0\times 10^{-6}\approx 300\mathrm{m}$ ; intensité pendant l'impulsion ${\epsilon }_{0}c{E}_0^2=8,854\times 10^{-12}\times 2,998\times 10^8\times 10^4\approx 26,5\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ ; énergie par impulsion et par mètre carré ${\epsilon }_0{E}_0^{2}c{\tau }_0\approx 2,65\times 10^{-5}\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-2}$. Homogénéité : ${\epsilon }_0{E}_0^2$ est une énergie volumique, multipliée par une longueur, une énergie surfacique.

Ce que l'exercice installe. La relation de structure $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{E}/c$ et l'équipartition valent pour chaque onde progressive, avec son propre $\overrightarrow{u}$, pas pour leur somme. On superpose les champs (linéarité), puis on calcule l'énergie sur le champ total ; pour deux ondes de sens opposés, les termes croisés électrique et magnétique se compensent, et les énergies s'ajoutent.