Deux ondes planes obliques : une onde qui n'est pas plane, une vitesse de phase supérieure à $c$

La stratégie. On applique à chaque OPPM les outils du cours avec son propre vecteur d'onde, on superpose les champs, puis on calcule l'énergie sur le champ total, en moyennant.

1) Chaque onde. ${\overrightarrow{k}}_i\cdot {\overrightarrow{e}}_z=0$ : chaque champ électrique est orthogonal à son vecteur d'onde, Maxwell-Gauss ($-\mathrm{j}{\overrightarrow{k}}_i\cdot \underline{{\overrightarrow{E}}_i}=0$) est satisfaite. Substitution dans d'Alembert : $\Delta \to (-\mathrm{j}{\overrightarrow{k}}_i)\cdot (-\mathrm{j}{\overrightarrow{k}}_i)=-k^2$ et $\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\to -{\omega }^2$, d'où $-k^2+\frac{{\omega }^2}{c^2}=0$ : $k=\omega /c$, quelle que soit la direction. Relation de structure, avec ${\overrightarrow{u}}_i={\overrightarrow{k}}_i/k$ : ${\overrightarrow{u}}_1\wedge {\overrightarrow{e}}_z=\cos \theta ({\overrightarrow{e}}_x\wedge {\overrightarrow{e}}_z)+\sin \theta ({\overrightarrow{e}}_y\wedge {\overrightarrow{e}}_z)=\sin \theta {\overrightarrow{e}}_x-\cos \theta {\overrightarrow{e}}_y$ et ${\overrightarrow{u}}_2\wedge {\overrightarrow{e}}_z=-\sin \theta {\overrightarrow{e}}_x-\cos \theta {\overrightarrow{e}}_y$, d'où, en posant ${\phi }_i=\omega t-{\overrightarrow{k}}_i\cdot \overrightarrow{r}$ : $${\overrightarrow{B}}_1=\frac{E_0}{c}\cos {\phi }_1(\sin \theta {\overrightarrow{e}}_x-\cos \theta {\overrightarrow{e}}_y),{\overrightarrow{B}}_2=\frac{E_0}{c}\cos {\phi }_2(-\sin \theta {\overrightarrow{e}}_x-\cos \theta {\overrightarrow{e}}_y).$$

2) Une onde progressive selon ${\overrightarrow{e}}_x$, mais pas plane. Posons $\Phi =\omega t-kx\cos \theta$ et $\alpha =ky\sin \theta$ : ${\phi }_1=\Phi -\alpha$ et ${\phi }_2=\Phi +\alpha$. Avec $\cos (\Phi -\alpha )+\cos (\Phi +\alpha )=2\cos \Phi \cos \alpha$ : $$\overrightarrow{E}=2E_0\cos (ky\sin \theta )\cos (\omega t-kx\cos \theta ){\overrightarrow{e}}_z.$$ La dépendance en $x$ et $t$ est celle d'une onde progressive selon ${\overrightarrow{e}}_x$, de nombre d'onde $k_x=k\cos \theta$. Mais l'amplitude $2E_0\cos (ky\sin \theta )$ dépend de $y$ : le champ n'est pas uniforme sur les plans $x=\text{cte}$, l'onde n'est pas plane. Sa vitesse de phase vaut $$v_{\phi }=\frac{\omega }{k_x}=\frac{\omega }{k\cos \theta }=\frac{c}{\cos \theta }>c.$$ Interprétation. Un front d'onde de l'onde 1 avance de $c\mathrm{d}t$ selon ${\overrightarrow{k}}_1$ ; son intersection avec une droite parallèle à $Ox$ avance de $c\mathrm{d}t/\cos \theta$, comme le point de contact d'une vague oblique qui court le long d'une plage. Ce point n'est pas un objet : aucune énergie ni aucune information ne s'y déplace. La vitesse de phase est une vitesse de motif.

3) Une composante longitudinale de $\overrightarrow{B}$. Avec $\cos {\phi }_1-\cos {\phi }_2=2\sin \Phi \sin \alpha$ et $\cos {\phi }_1+\cos {\phi }_2=2\cos \Phi \cos \alpha$ : $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{B}=\frac{2E_0}{c}[& \sin \theta \sin (ky\sin \theta )\sin (\omega t-kx\cos \theta ){\overrightarrow{e}}_x\\ & -\cos \theta \cos (ky\sin \theta )\cos (\omega t-kx\cos \theta ){\overrightarrow{e}}_y].\end{array}$$ Contrôle par Faraday : ${\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}\right)}_x=\frac{\partial E_z}{\partial y}=-2E_{0}k\sin \theta \sin \alpha \cos \Phi$, et $-\frac{\partial B_x}{\partial t}=-\frac{2E_0\omega }{c}\sin \theta \sin \alpha \cos \Phi$ : égaux puisque $\omega /c=k$. La composante $B_x$ est non nulle (sauf sur les plans $\sin \alpha =0$) : l'onde somme n'est pas transverse à sa direction de propagation, et $\overrightarrow{B}\ne {\overrightarrow{e}}_x\wedge \overrightarrow{E}/c$. Pas de contradiction : transversalité et relation de structure appartiennent à chaque onde plane progressive, et la somme n'est pas plane (leçon de l'exercice 2).

4) Des plans de champ électrique nul. $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ à chaque instant si $\cos (ky\sin \theta )=0$, soit $ky\sin \theta =\frac{\pi }{2}+m\pi$ ($m$ entier) : $$y_m=\left(m+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{2\sin \theta },\text{espacement }\frac{\lambda }{2\sin \theta },$$ avec $\lambda =2\pi /k$ ; les plus proches de l'axe sont en $y=\pm \frac{\lambda }{4\sin \theta }$. Sur ces plans, le champ électrique est nul à chaque instant : ce sont des plans nodaux fixes, espacés de $\lambda /(2\sin \theta )$.

5) L'énergie avance moins vite que $c$. En un point, avec $⟨{\cos }^2\Phi ⟩=⟨{\sin }^2\Phi ⟩=\frac{1}{2}$ : $$⟨u_E⟩=\frac{{\epsilon }_0}{2}4E_0^2{\cos }^2\alpha \cdot \frac{1}{2}={\epsilon }_0{E}_0^2{\cos }^2\alpha ,$$ $$⟨u_B⟩=\frac{1}{2{\mu }_0}\frac{4E_0^2}{c^2}\cdot \frac{1}{2}\left({\sin }^2\theta {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\theta {\cos }^2\alpha \right)={\epsilon }_0{E}_0^2\left({\sin }^2\theta {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\theta {\cos }^2\alpha \right).$$ Moyennées sur $y$ ($⟨{\cos }^2\alpha {⟩}_y=⟨{\sin }^2\alpha {⟩}_y=\frac{1}{2}$), elles valent chacune $\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}$ : $⟨u⟩={\epsilon }_0{E}_0^2$, somme des énergies moyennes $\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}$ des deux ondes. Vecteur de Poynting ($E_x=E_y=0$) : ${\Pi }_x=-\frac{E_z{B}_y}{{\mu }_0}=\frac{4E_0^2}{{\mu }_{0}c}\cos \theta {\cos }^2\alpha {\cos }^2\Phi$ et ${\Pi }_y=\frac{E_z{B}_x}{{\mu }_0}=\frac{4E_0^2}{{\mu }_{0}c}\sin \theta \sin \alpha \cos \alpha \sin \Phi \cos \Phi$. Donc $⟨{\Pi }_y⟩=0$ et $$⟨{\Pi }_x⟩=2{\epsilon }_{0}c{E}_0^2\cos \theta {\cos }^2\alpha ,⟨{\Pi }_x{⟩}_y={\epsilon }_{0}c{E}_0^2\cos \theta .$$ L'énergie avance selon ${\overrightarrow{e}}_x$ à la vitesse $$v_E=\frac{⟨{\Pi }_x{⟩}_y}{⟨u{⟩}_y}=c\cos \theta <c,v_{\phi }{v}_E=\frac{c}{\cos \theta }\cdot c\cos \theta =c^2.$$ Lecture directe : chaque onde transporte son énergie à $c$ le long de son vecteur d'onde ; la projection sur ${\overrightarrow{e}}_x$ vaut $c\cos \theta$. Homogénéité : ${\epsilon }_{0}c{E}_0^2$ est un flux surfacique d'énergie, ${\epsilon }_0{E}_0^2$ une énergie volumique, leur rapport une vitesse.

6) Valeurs et cas limites. $\lambda =c/f=2,998\times 10^8/10^{10}\approx 3,00\mathrm{cm}$ ; $v_{\phi }=c/\cos 30^{\circ }\approx 3,46\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; $v_E=c\cos 30^{\circ }\approx 2,60\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; plans de champ nul en $y=\pm \frac{\lambda }{4\sin 30^{\circ }}=\pm \frac{\lambda }{2}=\pm 1,50\mathrm{cm}$, puis tous les $\frac{\lambda }{2\sin 30^{\circ }}=\lambda =3,00\mathrm{cm}$.

Cas limites. Pour $\theta \to 0$, les deux ondes se confondent : on retrouve une onde plane d'amplitude $2E_0$, $v_{\phi }=v_E=c$, et les plans de champ nul partent à l'infini. Pour $\theta \to 90^{\circ }$, les deux ondes se propagent l'une vers l'autre selon ${\overrightarrow{e}}_y$ : $\overrightarrow{E}=2E_0\cos (ky)\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_z$ ne se propage plus selon ${\overrightarrow{e}}_x$ ($v_{\phi }\to \infty$, $v_E\to 0$) ; c'est une onde stationnaire.

Ce que l'exercice installe. Une somme d'ondes planes progressives n'est en général ni plane ni transverse : transversalité et relation de structure appartiennent à chaque onde plane. La vitesse de phase est une vitesse de motif, qui peut dépasser $c$ ; l'énergie, elle, avance à $v_E=⟨\Pi ⟩/⟨u⟩\le c$. Et un réflexe de méthode : vecteur d'onde quelconque, notation complexe, relation de dispersion par substitution.