Du ressort atomique au rail : module d'Young et onde dans une tige

La stratégie. Pour le module d'Young, on compte les ressorts qui travaillent en parallèle dans une section et on écrit la force qu'ils exercent. Pour l'onde, on refait le raisonnement de la corde : une tranche, deux forces exercées par ses voisines, et la loi de la quantité de mouvement.

1) Le module d'Young du modèle. Dans l'empilement cubique, chaque chaîne parallèle à l'axe occupe un carré de côté $a$ de la section : il y a $S/a^2$ chaînes. Un allongement uniforme de la fraction $\epsilon$ allonge chaque maille, donc chaque ressort, de $a\epsilon$ ; chaque chaîne transmet la force $Ka\epsilon$, et la tige la force totale $$F=\frac{S}{a^2}Ka\epsilon ⟹\frac{F}{S}=\frac{K}{a}\epsilon .$$ Par identification avec la loi de Hooke, $E=K/a$ : le module d'Young est une raideur de liaison divisée par une longueur atomique. Pour le fer, $$K=Ea=210\times 10^9\times 0,25\times 10^{-9}=52,5\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1},$$ la raideur d'un ressort assez mou… mais qui n'est jamais étiré que de quelques centièmes de nanomètre. La masse volumique du modèle vaut $\frac{m}{a^3}=\frac{55,85\times 1,661\times 10^{-27}}{(0,25\times 10^{-9}{)}^3}=5940\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, contre $7850$ pour l'acier : le fer réel range ses atomes de façon plus compacte que l'empilement cubique simple ; le modèle donne le bon ordre de grandeur.

2) L'équation de la tige. La tranche $[x,x+\mathrm{d}x]$ a la masse $\rho S\mathrm{d}x$ et l'accélération $\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}$. La matière située à droite de $x+\mathrm{d}x$ exerce sur elle la force $F(x+\mathrm{d}x,t){\overrightarrow{e}}_x$ ; la matière située à gauche de $x$, par la loi des actions réciproques, la force $-F(x,t){\overrightarrow{e}}_x$. Selon ${\overrightarrow{e}}_x$ : $$\rho S\mathrm{d}x\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}=F(x+\mathrm{d}x,t)-F(x,t)=\frac{\partial F}{\partial x}\mathrm{d}x=ES\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}\mathrm{d}x,$$ d'où $$\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}=\frac{\rho }{E}\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2},c=\sqrt{\frac{E}{\rho }}=\sqrt{\frac{210\times 10^9}{7850}}=5170\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=5,17\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ C'est l'équation de la corde, où la tension $T_0$ est remplacée par $ES$ (la force qu'il faudrait pour doubler la longueur) et la masse linéique $\mu$ par $\rho S$ : la section se simplifie, la célérité ne dépend que du matériau.

3) Raideur sur inertie. Dans le modèle, $E=K/a$ et $\rho =m/a^3$, d'où $$c=\sqrt{\frac{E}{\rho }}=\sqrt{\frac{K/a}{m/a^3}}=a\sqrt{\frac{K}{m}}=0,25\times 10^{-9}\sqrt{\frac{52,5}{9,27\times 10^{-26}}}=5,95\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ L'écart de $15\%$ à la valeur mesurée vient tout entier de la masse volumique du modèle ($\sqrt{7850/5940}=1,15$), puisque $K$ a été tiré de $E$. La forme est instructive : $\sqrt{K/m}$ est l'ordre de grandeur de la pulsation propre d'un atome entre ses ressorts, et $a$ la distance qu'il faut franchir pour passer d'un atome au suivant ; l'onde se transmet d'atome en atome en un temps de l'ordre de $\sqrt{m/K}$. Pour la corde, la raideur est la tension, l'inertie la masse linéique ; pour la tige, le module d'Young et la masse volumique ; à l'échelle atomique, la raideur des liaisons et la masse des atomes : une célérité est toujours la racine d'une raideur sur une inertie.

4) L'oreille sur le rail. Par le rail, $1000/5172=0,193\mathrm{s}$ ; par l'air, $1000/343=2,92\mathrm{s}$. Le son du rail arrive avec $2,7\mathrm{s}$ d'avance, quinze fois plus vite. De plus, l'onde guidée par le rail s'affaiblit beaucoup moins qu'une onde qui s'étale dans l'air : on entend le rail « chanter » bien avant le train.

5) Le tableau.

Célérités des ondes longitudinales, sur une échelle logarithmique (l'air pour comparaison).

Le classement ne suit pas la masse volumique : le plomb, le plus dense, est lent, car il est mou ($E$ petit) et lourd ; le caoutchouc, de masse volumique ordinaire, est extrêmement mou, et le son y va $3,6$ fois moins vite que dans l'air ; l'aluminium et l'acier ont presque la même célérité, car leur rapport $E/\rho$ est presque le même ($25,6$ et $26,8\mathrm{MJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$) : l'acier est trois fois plus raide, mais trois fois plus lourd ; le diamant, aux liaisons covalentes très raides entre des atomes de carbone légers, détient le record. Ce qui compte est le rapport de la raideur à l'inertie.

6) Le milieu continu. À $20\mathrm{kHz}$, $\lambda =c/f=5172/20000=0,26\mathrm{m}$, soit $10^9$ distances atomiques : deux atomes voisins ont pratiquement le même déplacement, et le traitement en milieu continu est excellent. Il cesse de valoir quand $\lambda$ devient de l'ordre de $a$, c'est-à-dire pour $f\sim c/a=5170/(0,25\times 10^{-9})\approx 2\times 10^{13}\mathrm{Hz}$ : les vibrations atomiques, de l'ordre de la dizaine de térahertz, c'est-à-dire l'agitation thermique du cristal. Toute l'acoustique des solides est à des fréquences mille milliards de fois plus basses.

Ce que l'exercice installe. Un module macroscopique se lit comme une raideur microscopique divisée par une longueur ($E=K/a$). La tige obéit à l'équation de d'Alembert comme la corde, la tension étant remplacée par $ES$ et la masse linéique par $\rho S$, d'où $c=\sqrt{E/\rho }$, de l'ordre de $5\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$ dans les métaux. Une célérité est toujours la racine d'une raideur sur une inertie, et c'est ce rapport, non la masse volumique seule, qui classe les matériaux. Le milieu continu vaut tant que la longueur d'onde voit beaucoup d'atomes.