Du seuil d'audition au décollage d'une fusée : jusqu'où l'acoustique est-elle linéaire ?

La stratégie. Tout part de l'intensité : le niveau donne $I$, l'intensité donne $p_0=\sqrt{2ZI}$, l'impédance donne $v_0$, la pulsation donne ${\xi }_0$. La relation $c^2=1/({\rho }_0{\chi }_S)=\gamma P_0/{\rho }_0$ relie ensuite les trois petitesses.

1) Les domaines. L'éléphant ($14\mathrm{Hz}$) émet des infrasons, de longueur d'onde $343,2/14=24,5\mathrm{m}$ : ils contournent les obstacles et portent à plusieurs kilomètres. La chauve-souris émet des ultrasons, de $343,2/40000=8,6\mathrm{mm}$ à $343,2/100000=3,4\mathrm{mm}$ : une longueur d'onde de la taille d'un insecte, qu'elle peut ainsi repérer par écho. L'échographie emploie des ultrasons de $1540/(3,5\times 10^6)=0,44\mathrm{mm}$ dans les tissus, ce qui fixe la finesse des détails visibles. Les limites de l'audible correspondent, dans l'air, à $17,2\mathrm{m}$ ($20\mathrm{Hz}$) et $1,72\mathrm{cm}$ ($20\mathrm{kHz}$) : le son audible a la longueur d'onde des objets qui nous entourent.

2) et 3) Les amplitudes et le petit paramètre. Comme $c^2=\frac{1}{{\rho }_0{\chi }_S}=\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}$, on a ${\rho }_0{c}^2=\gamma P_0$ ($1,204\times 343,2^2=1,418\times 10^5\mathrm{Pa}$, et $1,40\times 1,013\times 10^5=1,418\times 10^5\mathrm{Pa}$ : les données sont cohérentes). D'où $$\frac{v_0}{c}=\frac{p_0}{Zc}=\frac{p_0}{{\rho }_0{c}^2}=\frac{p_0}{\gamma P_0},\frac{{\rho }_{1,0}}{{\rho }_0}={\chi }_S{p}_0=\frac{p_0}{\gamma P_0}:$$ les trois rapports sont le même nombre $\epsilon =\frac{p_0}{\gamma P_0}$, et $p_0/P_0=\gamma \epsilon$. Avec $I=I_{0}10^{L_{\mathrm{dB}}/10}$ (de $10^{-12}$ à $10^5\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$), $p_0=\sqrt{2ZI}$, $v_0=p_0/Z$, ${\xi }_0=v_0/(2\pi \times 1000)$ :

Au seuil de douleur, la surpression efficace vaut $p_0/\sqrt{2}=20,3\mathrm{Pa}$, deux dix-millièmes de la pression atmosphérique : même un son douloureux est une perturbation minuscule, et la douleur arrive bien avant la non-linéarité. Le paramètre $\epsilon$ est multiplié par $10$ chaque fois que le niveau augmente de $20\mathrm{dB}$ ($p_0\propto \sqrt{I}$).

L'amplitude $p_0$ atteindrait $P_0$ pour $I=\frac{P_0^2}{2Z}=\frac{(1,013\times 10^5{)}^2}{2\times 413}=1,24\times 10^7\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, soit $L_{\mathrm{dB}}=10\log (1,24\times 10^{19})=191\mathrm{dB}$. À ce niveau, la pression totale $P_0+p$ s'annulerait dans les détentes : une pression absolue ne peut pas être négative, et le modèle linéaire, qui suppose $p$ petit devant $P_0$, n'a plus de sens bien avant. Aux abords d'un lanceur, $\epsilon =6\%$ : la théorie au premier ordre donne encore les ordres de grandeur, mais les termes négligés, relativement de l'ordre de $\epsilon$, ne le sont plus vraiment ; la célérité locale dépend alors de la surpression, les compressions rattrapent les détentes, et le front d'onde se raidit en petits chocs (le « crépitement » caractéristique du bruit des fusées).

4) Au seuil d'audition. Le déplacement de l'air, $1,1\times 10^{-11}\mathrm{m}$, est le dixième de la taille d'un atome. L'oreille ne suit pas une molécule, dont l'agitation thermique est désordonnée et bien plus grande : elle reçoit le mouvement collectif et cohérent de l'air sur toute la surface du tympan (de l'ordre de $0,5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$), où les agitations individuelles se compensent. Cette sensibilité extrême explique aussi qu'on puisse l'abîmer : entre le seuil d'audition et le seuil de douleur, l'intensité est multipliée par $10^{12}$.

5) L'onde stationnaire du couloir. L'onde vers les $x$ croissants a la vitesse $+p/Z$, l'onde vers les $x$ décroissants la vitesse $-p/Z$ : $$p=p_0\cos (\omega t-kx)+p_0\cos (\omega t+kx)=2p_0\cos (kx)\cos (\omega t),$$ $$v=\frac{p_0}{Z}\cos (\omega t-kx)-\frac{p_0}{Z}\cos (\omega t+kx)=\frac{2p_0}{Z}\sin (kx)\sin (\omega t).$$ Le rapport $p/v=Z\frac{\cos (kx)\cos (\omega t)}{\sin (kx)\sin (\omega t)}$ dépend de $x$ et de $t$ et devient infini aux nœuds de vitesse : la relation $p=Zv$ ne vaut que pour une onde progressive, pas pour une superposition. Les nœuds de vitesse sont en $kx=m\pi$, $x=m\lambda /2$, là où la surpression oscille avec l'amplitude maximale $2p_0$ ; les nœuds de surpression sont en $x=\lambda /4+m\lambda /2$, ventres de vitesse. Surpression et vitesse sont en quadrature dans l'espace (nœuds décalés de $\lambda /4$) et dans le temps (cosinus et sinus de $\omega t$). Une paroi rigide, où l'air ne peut pas bouger, est un nœud de vitesse : c'est cette onde qui se forme devant un mur. L'intensité moyenne est nulle, $⟨pv⟩=\frac{2p_0^2}{Z}\cos (kx)\sin (kx)⟨\cos (\omega t)\sin (\omega t)⟩=0$ : l'énergie va et vient entre les nœuds sans être transportée. À $1\mathrm{kHz}$, les nœuds de vitesse sont espacés de $17\mathrm{cm}$.

Amplitudes de la surpression (rapportée à $2p_0$) et de la vitesse (rapportée à $2p_0/Z$) le long du couloir : les nœuds de l'une sont les ventres de l'autre.

Ce que l'exercice installe. Les trois petitesses de l'approximation acoustique n'en font qu'une, $\epsilon =p_0/(\gamma P_0)=v_0/c$, parce que ${\rho }_0{c}^2=\gamma P_0$ ; elle vaut $2\times 10^{-4}$ au seuil de douleur et n'approche l'unité qu'au voisinage de $191\mathrm{dB}$. L'oreille est sensible à des déplacements subatomiques, et la douleur arrive bien avant la non-linéarité. Les domaines de fréquence se lisent en longueurs d'onde. L'impédance relie $p$ et $v$ d'une onde progressive seulement : dans une onde stationnaire, surpression et vitesse sont en quadrature et l'intensité moyenne est nulle.