Énergie d'une onde stationnaire, le four à micro-ondes

1) $\cos (\omega t-kx)-\cos (\omega t+kx)=2\sin (\omega t)\sin (kx)$ donne $\overrightarrow{E}$. Pour les champs magnétiques, ${\overrightarrow{B}}_1=\frac{{\overrightarrow{e}}_x\wedge {\overrightarrow{E}}_1}{c}=\frac{E_0}{c}\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_z$ et ${\overrightarrow{B}}_2=\frac{(-{\overrightarrow{e}}_x)\wedge {\overrightarrow{E}}_2}{c}=\frac{E_0}{c}\cos (\omega t+kx){\overrightarrow{e}}_z$ ; leur somme vaut $\frac{2E_0}{c}\cos (kx)\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_z$. Espace et temps sont découplés : l'onde est stationnaire. Les nœuds de $\overrightarrow{E}$ sont en $x=m\lambda /2$ (dont l'origine), ceux de $\overrightarrow{B}$ en $x=\lambda /4+m\lambda /2$ : les ventres de l'un sont les nœuds de l'autre.

2) Avec $\frac{B^2}{2{\mu }_0}=\frac{4E_0^2}{2{\mu }_0{c}^2}{\cos }^2(kx){\cos }^2(\omega t)=2{\epsilon }_0{E}_0^2{\cos }^2(kx){\cos }^2(\omega t)$,

$$u=2{\epsilon }_0{E}_0^2\left[{\sin }^2(kx){\sin }^2(\omega t)+{\cos }^2(kx){\cos }^2(\omega t)\right],$$

$${\Pi }_x=\frac{E_y{B}_z}{{\mu }_0}=\frac{E_0^2}{{\mu }_{0}c}\sin (2kx)\sin (2\omega t).$$

En moyenne, $⟨u⟩={\epsilon }_0{E}_0^2$, uniforme, somme des énergies moyennes des deux ondes ; et $⟨{\Pi }_x⟩=0$ partout. La phrase est fausse : l'onde contient de l'énergie, et $\overrightarrow{\Pi }$ n'est nul qu'en moyenne. Un flux moyen nul signifie seulement qu'il n'y a pas de transport net.

3) ${\Pi }_x$ est nul à tout instant là où $\sin (2kx)=0$, en $x=m\lambda /4$ : aux nœuds de $\overrightarrow{E}$ et aux nœuds de $\overrightarrow{B}$. Intégrée sur une tranche $[0,\lambda /4]$ de section unité, l'équation de Poynting donne $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}={\Pi }_x(0,t)-{\Pi }_x(\lambda /4,t)=0$ : l'énergie de la tranche est constante. Avec ${\int }_0^{\lambda /4}{\sin }^2(kx)\mathrm{d}x={\int }_0^{\lambda /4}{\cos }^2(kx)\mathrm{d}x=\frac{\lambda }{8}$,

$$W=2{\epsilon }_0{E}_0^2\frac{\lambda }{8}\left({\sin }^2\omega t+{\cos }^2\omega t\right)=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2\lambda }{4}.$$

À $t=0$, $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ : l'énergie est magnétique, massée près du ventre de $\overrightarrow{B}$ en $x=0$. À $t=T/4$, $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$ : elle est électrique, massée près du ventre de $\overrightarrow{E}$ en $x=\lambda /4$. L'énergie fait des allers-retours dans des cellules de $\lambda /4$, à la pulsation $2\omega$, en changeant de forme.

4) Numériquement,

$$\lambda =\frac{c}{f}\approx 12.2cm,I_0=\frac{E_0^2}{2{\mu }_{0}c}\approx 1.33\times 10^{3}W.m^{-2},$$

$$W=\frac{8,85\times 10^{-12}\times 10^6\times 0,122}{4}\approx 2.7\times 10^{-7}J.m^{-2}.$$

Le flux instantané atteint $\frac{E_0^2}{{\mu }_{0}c}=2I_0\approx 2.65\times 10^{3}W.m^{-2}$ au milieu des cellules ($x=\lambda /8\approx 1.5cm$, modulo $\lambda /4$), aux instants $t=T/8$ (modulo $T/4$) : un flux instantané double de l'intensité de chaque onde, pour un flux moyen nul.