Le hauban d'un pylône : mesurer une tension avec une impulsion

La stratégie. Une extrémité fixe renvoie l'onde « en image renversée » ; deux extrémités fixes font faire des allers-retours à l'impulsion, avec la période $2L/c$ ; cette période se mesure au chronomètre et donne $c$, puis $T_0=\mu c^2$. La lecture fréquentielle du même mouvement est la superposition des modes propres.

1) L'équation du hauban. L'élément $[x,x+\mathrm{d}x]$, de masse $\mu \mathrm{d}x$, subit de la part du câble situé au-delà de $x+\mathrm{d}x$ la tension $\overrightarrow{T}(x+\mathrm{d}x,t)$, et de la part du câble situé en deçà de $x$ la force $-\overrightarrow{T}(x,t)$ ; le câble étant infiniment souple, ces forces sont tangentes au câble, d'angle $\alpha$ avec la droite AB. Le poids est négligé. Le mouvement est transverse : selon AB, l'accélération est nulle, et $$T(x+\mathrm{d}x,t)\cos \alpha (x+\mathrm{d}x,t)-T(x,t)\cos \alpha (x,t)=0:$$ $T\cos \alpha$ est uniforme le long du câble ; aux petits angles, $\cos \alpha \approx 1$ à l'ordre un, et $T\approx T_0$ partout. Perpendiculairement à AB, $$\mu \mathrm{d}x\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T_0\sin \alpha (x+\mathrm{d}x,t)-T_0\sin \alpha (x,t).$$ Aux petits angles, $\sin \alpha \approx \tan \alpha =\frac{\partial y}{\partial x}$, et la différence vaut $T_0\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}\mathrm{d}x$ au premier ordre en $\mathrm{d}x$. D'où $$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=\frac{\mu }{T_0}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2},c=\sqrt{\frac{T_0}{\mu }}=\sqrt{\frac{12000}{0,77}}=125\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La force de rappel vient de la courbure du câble (${\partial }^{2}y/\partial x^2$) multipliée par la tension : la tension est la raideur, la masse linéique l'inertie. L'aller-retour dure $2L/c=150/124,8=1,20\mathrm{s}$ et le fondamental a la fréquence $f_1=c/(2L)=0,83\mathrm{Hz}$.

2) L'onde image. $y_1=f(t-x/c)$ est une onde progressive vers B : le profil créé en A pendant le coup de maillet, de longueur $c\tau \approx 1,25\mathrm{m}$, se translate sans se déformer à la célérité $c$. Pour une fonction $F$ deux fois dérivable, $F(t-x/c)$ a pour dérivées secondes $F^{\prime \prime }/c^2$ en $x$ et $F^{\prime \prime }$ en $t$ : elle vérifie l'équation de d'Alembert ; de même $G(t+x/c)$. Or $$f\left(t-\frac{2L-x}{c}\right)=f\left(t+\frac{x}{c}-\frac{2L}{c}\right)$$ est une fonction de $t+x/c$ : le second terme est une onde progressive vers A, et la somme, par linéarité, est solution. En $x=L$, les deux termes valent $f(t-L/c)$ et se compensent : $y(L,t)=0$ à tout instant. Le second terme est l'onde réfléchie en B : même forme, renversée (signe moins), se propageant en sens inverse. On peut la voir comme l'onde issue d'une impulsion « image », renversée et symétrique de l'impulsion réelle par rapport à B, qui arrive sur B en même temps qu'elle et l'annule exactement en ce point.

Réflexion sur l'extrémité fixe B : avant (en haut) et après (en bas). En trait plein, le câble ; en tirets, l'impulsion image, fictive, au-delà de B. À chaque instant, la somme des deux est nulle en B.

En A, la somme vaut $y(0,t)=f(t)-f(t-2L/c)$. Après le coup ($t>\tau$), $f(t)=0$ mais $f(t-2L/c)$ n'est pas nul entre $2L/c$ et $2L/c+\tau$ : l'onde réfléchie arrive en A. Il faut ajouter le terme $+f(t-(2L+x)/c)$, onde progressive vers B, qui vaut $f(t-2L/c)$ en A et compense : l'impulsion se réfléchit en A, renversée une seconde fois, donc remise à l'endroit. Ce terme exige à son tour son image en B, et ainsi de suite : $$y(x,t)=\sum _{m⩾0}\left[f\left(t-\frac{x}{c}-m\frac{2L}{c}\right)-f\left(t+\frac{x}{c}-(m+1)\frac{2L}{c}\right)\right](t>\tau ).$$ Remplacer $t$ par $t+2L/c$ décale l'indice $m$ d'une unité et redonne la même somme : le mouvement est périodique de période $2L/c$. L'impulsion fait des allers-retours entre A et B, renversée à chaque réflexion, et repasse à l'endroit près de A toutes les $2L/c$. La main, près de A, sent un choc à chaque retour (l'impulsion qui revient, renversée, suivie aussitôt de sa réflexion en A) : un toc toutes les $1,20\mathrm{s}$ pour la tension prévue.

3) La mesure. Cinq retours, c'est cinq allers-retours : $5\times \frac{2L}{c}=6,2\mathrm{s}$, d'où $\frac{2L}{c}=1,24\mathrm{s}$ et $$c=\frac{2\times 75}{1,24}=121\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},T_0=\mu c^2=0,77\times 121,0^2=11,3\mathrm{kN}.$$ Il manque $0,7\mathrm{kN}$, soit $6\%$ de la tension prévue : il faut retendre jusqu'à ce que les cinq retours durent $6,0\mathrm{s}$. Comme $T_0=\mu (2L{)}^2\times 25/t_5^2$, où $t_5$ est la durée mesurée, $\frac{\Delta T_0}{T_0}=2\frac{\Delta t_5}{t_5}=2\times \frac{0,1}{6,2}=3,2\%$, soit $0,36\mathrm{kN}$ : le défaut constaté vaut deux fois cette incertitude, il est réel mais il faut chronométrer soigneusement (compter dix retours divise l'erreur relative par deux).

4) Le spectre et les modes. Un signal périodique de période $2L/c$ ne contient que les fréquences $n\frac{c}{2L}=n{f}_1$ : ce sont exactement les fréquences des modes propres. Les deux descriptions du même mouvement, une impulsion qui fait des allers-retours ou une superposition de modes, sont équivalentes : les modes propres sont la lecture fréquentielle de l'aller-retour. Une impulsion de durée $\tau =10\mathrm{ms}$ a un spectre qui s'étend jusqu'à $1/\tau \approx 100\mathrm{Hz}$ ; elle excite donc les modes jusqu'au rang $$N\approx \frac{1/\tau }{f_1}=\frac{2L}{c\tau }\approx 120,$$ le rapport de la durée d'un aller-retour à celle de l'impulsion, ou de la longueur $2L$ à la longueur $c\tau$ de l'impulsion. La méthode du balancement, au contraire, impose une excitation lente, en rythme avec le câble, à la fréquence $f_1\approx 0,83\mathrm{Hz}$ (une poussée toutes les $1,2\mathrm{s}$) : elle n'excite que le mode $1$, un seul arc qui oscille. On compte ses oscillations au chronomètre, et $T_0=\mu c^2=4\mu L^2{f}_1^2$. Les deux méthodes mesurent la même grandeur, l'une en temps, l'autre en fréquence.

5) Combien de modes pour une impulsion.

Une impulsion de longueur $c\tau =1,25\mathrm{m}$ au milieu d'un câble de $75\mathrm{m}$ (tirets), et la somme de ses $5$, $20$ et $80$ premiers modes propres.

Avec $5$ modes, la plus courte longueur d'onde disponible est $2L/5=30\mathrm{m}$ : la somme est une bosse large et plate, à $5\%$ de la hauteur de l'impulsion. Avec $20$ modes ($2L/20=7,5\mathrm{m}$), elle se resserre et monte à $21\%$. Avec $80$ modes ($1,9\mathrm{m}$), la forme est presque là, à $74\%$ de la hauteur, avec de petites ondulations ; il en faut environ $120$ pour la retrouver à $95\%$. Pour représenter un détail de longueur $\ell$, il faut des modes de longueur d'onde de l'ordre de $\ell$, c'est-à-dire de rang $2L/\ell$ : c'est l'estimation de la question précédente, vue dans l'espace au lieu du temps.

6) Les hypothèses. La flèche vaut $$h=\frac{\mu g{L}^2}{8T_0}=\frac{0,77\times 9,81\times 75^2}{8\times 12000}=0,44\mathrm{m},$$ soit $0,6\%$ de la longueur, et la pente aux extrémités $4h/L=0,024$ : le câble au repos est rectiligne à $2\%$ près, et le modèle d'une corde tendue en ligne droite convient. La tension varie de $\mu gL=0,57\mathrm{kN}$ au plus d'un bout à l'autre, $4,7\%$ de $T_0$, donc la célérité de $2,4\%$ (elle varie comme $\sqrt{T_0}$) : la mesure donne une tension moyenne, à quelques pour cent près. Enfin, une impulsion d'un ou deux centimètres d'amplitude sur une longueur de $1,25\mathrm{m}$ donne au câble une pente de quelques centièmes : l'hypothèse des petits mouvements est largement satisfaite.

Ce que l'exercice installe. Établir l'équation de la corde par la loi de la quantité de mouvement d'un élément : la tension est la raideur, la masse linéique l'inertie. Une extrémité fixe renvoie l'onde image renversée (une forme proposée se vérifie par substitution et par la condition aux limites) ; deux extrémités fixes rendent le mouvement périodique de période $2L/c$, d'où un spectre harmonique dont les raies sont les fréquences propres. Une impulsion brève excite beaucoup de modes (environ $2L/(c\tau )$), une excitation lente et rythmée un seul. Mesurer un temps de vol, c'est mesurer une tension.