Polarisation elliptique — exercice corrigé de physique des ondes 2 (PC) (chapitre 1)

Polarisation elliptique

L'équation de d'Alembert · niveau 2

Énoncé

Dans le vide, une onde plane progressive harmonique a pour champ électrique $E = E_{1} cos (ω t - k x) e_{y} + E_{2} cos (ω t - k x + φ) e_{z}$ , avec $E_{1} = 3$ et $E_{2} = 4$ (en unités arbitraires).

Pour $φ = π /2$ , montrer que l'extrémité de $E$ décrit, en $x = 0$ , une ellipse dont on donnera les axes et le sens de parcours.
Pour $φ = π /3$ , l'extrémité décrit encore une ellipse, inscrite dans le même rectangle. On admet que son grand axe fait l'angle $ψ$ avec $e_{y}$ tel que $tan 2 ψ = \frac{2 E _{1} E _{2} cos φ}{E _{1}^{2} - E _{2}^{2}}$ , et que l'aire de l'ellipse vaut $π E_{1} E_{2} ∣ sin φ ∣$ . Calculer $ψ$ . Les demi-axes valent $a \approx 4, 41$ et $b \approx 2, 36$ : vérifier l'aire.
Pour quelles valeurs de $φ$ la polarisation serait-elle rectiligne ? Circulaire ?

Corrigé

1) En $x = 0$ , $E_{y} = 3 cos ω t$ et $E_{z} = 4 cos (ω t + π /2) = - 4 sin ω t$ , d'où

$\frac{E _{y}^{2}}{9} + \frac{E _{z}^{2}}{16} = 1 :$

une ellipse de demi-axes $3$ selon $e_{y}$ et $4$ selon $e_{z}$ . À $t = 0$ , $E = 3 e_{y}$ ; un quart de période plus tard, $E = - 4 e_{z}$ : $E$ tourne de $e_{y}$ vers $- e_{z}$ , dans le sens indirect autour de $e_{x}$ (conformément à la règle du cours : $0 < φ < π$ ).

2) $tan 2 ψ = \frac{2 \times 3 \times 4 \times cos ( π /3 )}{9 - 16} = - \frac{12}{7}$ ; $2 ψ$ est dans le deuxième quadrant (numérateur positif, dénominateur négatif), $2 ψ = 18 0^{\circ} - 59, 7^{\circ} = 120, 3^{\circ}$ , soit $ψ \approx 60, 1^{\circ}$ : le grand axe est incliné entre $e_{y}$ et $e_{z}$ , plus près de $e_{z}$ puisque $E_{2} > E_{1}$ . Aire : $π ab = π \times 4, 41 \times 2, 36 \approx π \times 10, 4$ , et $π E_{1} E_{2} sin (π /3) = π \times 12 \times 0, 866 = π \times 10, 4$ : l'accord est vérifié.

3) Rectiligne pour $φ = 0$ ou $π$ (segment, diagonale du rectangle) ; jamais circulaire, puisque $E_{1} \neq = E_{2}$ : il faudrait en plus des amplitudes égales.