Problème : Maxwell, 1865. La lumière est une onde électromagnétique, $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$

La stratégie. La célérité est construite sur deux constantes que l'on mesure sans rien faire se propager : ${\epsilon }_0$ par un condensateur, ${\mu }_0$ par une bobine, leur produit par un circuit $LC$. On compare ensuite à la vitesse de la lumière, et l'on vérifie que la célérité est la même à toutes les fréquences.

1) Une vitesse cachée dans deux constantes. La solution générale de l'équation de d'Alembert à une dimension est $s(x,t)=F\left(t-\frac{x}{c}\right)+G_1\left(t+\frac{x}{c}\right)$, superposition d'une onde progressive et d'une onde régressive, de profils quelconques. Vérification pour $F(t-x/c)$ : $\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}{F}^{\prime \prime }$ et $\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=F^{\prime \prime }$, donc $\Delta s-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=\left(\frac{1}{c^2}-{\epsilon }_0{\mu }_0\right)F^{\prime \prime }=0$ pour tout profil si et seulement si $c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$. Les constantes : ${\epsilon }_0=\frac{Ce}{S}$ et ${\mu }_0=\frac{L\ell }{N^2{S}^{\prime }}$, d'où $${\epsilon }_0{\mu }_0=\frac{LCe\ell }{N^{2}S{S}^{\prime }}=\frac{LC}{G},G=\frac{N^{2}S{S}^{\prime }}{e\ell }.$$ $N$ est un nombre, $S{S}^{\prime }$ une longueur à la puissance quatre, $e\ell$ une longueur au carré : $G$ est une surface. Or ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ est une pulsation, donc $\sqrt{LC}$ est un temps. Ainsi $\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}=\frac{\sqrt{G}}{\sqrt{LC}}$ est une longueur divisée par un temps : une vitesse, sans qu'aucune unité électrique n'intervienne.

2) La mesure. $S=0,20^2=4,0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ et $C=\frac{8,854\times 10^{-12}\times 4,0\times 10^{-2}}{1,00\times 10^{-3}}\approx 354\mathrm{pF}$. $S^{\prime }=\pi r^2=3,14\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ et $L=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10^4\times 3,14\times 10^{-4}}{0,100}\approx 39,5\mu \mathrm{H}$. $G=\frac{10^4\times 4,0\times 10^{-2}\times 3,14\times 10^{-4}}{1,00\times 10^{-3}\times 0,100}\approx 1,26\times 10^3{\mathrm{m}}^2$, $\sqrt{G}\approx 35,4\mathrm{m}$. Puisque $LC={\epsilon }_0{\mu }_{0}G=G/c^2$, $$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=\frac{c}{2\pi \sqrt{G}},c=2\pi f_0\sqrt{G}=2\pi \times 1,346\times 10^6\times 35,45\approx 3,00\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Cohérence : $\lambda =c/f_0\approx 223\mathrm{m}$, mille fois la taille du circuit. Le circuit est en régime quasi stationnaire : rien ne s'y propage de façon mesurable. Pourtant sa fréquence propre contient $c$, inscrite dans le rapport entre le condensateur et la bobine.

3) Précision et biais. $c=2\pi f_0\sqrt{G}$ avec $G\propto 1/e$ : $c\propto e^{-1/2}$, donc $\frac{u(c)}{c}=\frac{1}{2}\frac{u(e)}{e}$. Pour $1\%$ sur $c$, il faut $e$ à $2\%$ près, soit $0,02\mathrm{mm}$ : il faut des cales calibrées. Effets de bord : la capacité réelle est supérieure à ${\epsilon }_{0}S/e$, donc $f_0$ mesurée est plus basse que celle du modèle ; avec le $G$ du modèle, on sous-estime $c$. Solénoïde court (longueur cinq fois le diamètre seulement) : l'inductance réelle est inférieure à ${\mu }_0{N}^2{S}^{\prime }/\ell$, $f_0$ est plus haute, et l'on surestime $c$. Les deux biais sont de sens opposés ; on les réduit en étalonnant $L$ et $C$ séparément.

4) L'argument de 1865. Écarts relatifs, rapportés à la valeur électrique $310740\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $$\frac{314858-310740}{310740}\approx 1,3\%\text{(Fizeau)},\frac{310740-298000}{310740}\approx 4,1\%\text{(Foucault)},$$ et $\frac{310740-308000}{310740}\approx 0,9\%$ pour l'aberration. Entre elles, les deux mesures optiques directes diffèrent de $\frac{314858-298000}{298000}\approx 5,7\%$. La valeur électrique tombe au milieu des valeurs optiques, à des écarts plus petits que la dispersion des mesures optiques elles-mêmes. Maxwell conclut : « l'accord des résultats semble montrer que la lumière et le magnétisme sont des manifestations d'une même substance, et que la lumière est une perturbation électromagnétique qui se propage dans le champ selon les lois de l'électromagnétisme ». Aujourd'hui : depuis 1983, $c=299792458\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ est exacte par définition (elle définit le mètre) ; depuis 2019, ${\mu }_0$ n'est plus fixée à $4\pi \times 10^{-7}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}$ mais mesurée (elle s'en écarte de $5\times 10^{-10}$ en valeur relative), et ${\epsilon }_0=\frac{1}{{\mu }_0{c}^2}$ : la relation de Maxwell est inscrite dans le système d'unités.

5) Le vide n'est pas dispersif. Avec $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\to -k^2$ et $\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\to -{\omega }^2$ : $-k^2+{\epsilon }_0{\mu }_0{\omega }^2=0$, soit $$\omega =ck,v_{\phi }=\frac{\omega }{k}=c\text{quelle que soit la freˊquence}.$$ Le vide est non dispersif : toutes les composantes de Fourier d'une impulsion avancent à la même vitesse, et l'impulsion se propage sans se déformer (c'est la solution $F(t-x/c)$ de la question 1). Le test astrophysique : la durée du trajet est $T=7,3\times 10^9\times 3,156\times 10^7\mathrm{s}\approx 2,3\times 10^{17}\mathrm{s}$. Deux photons de vitesses $c$ et $c+\Delta v$, émis ensemble, arrivent avec l'écart $\Delta t\approx T|\Delta v|/c$ (au premier ordre en $\Delta v/c$). Donc $$\frac{|\Delta v|}{c}\lesssim \frac{\Delta t}{T}=\frac{0,83}{2,3\times 10^{17}}\approx 4\times 10^{-18}.$$ De $10^6\mathrm{Hz}$ (le circuit $LC$) à $10^{25}\mathrm{Hz}$ (les photons gamma), en passant par la lumière visible ($5\times 10^{14}\mathrm{Hz}$), la même célérité $c$. C'est une majoration, valable si les photons ont été émis à peu près ensemble. Un plasma, au contraire, est dispersif.

6) Un terme invisible dans les circuits. En régime sinusoïdal, $\Vert {\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Vert ={\epsilon }_0\omega E$ et $\Vert \gamma \overrightarrow{E}\Vert =\gamma E$, d'où $$\frac{{\epsilon }_0\omega }{\gamma }=\frac{8,854\times 10^{-12}\times 2\pi \times 50}{6,0\times 10^7}\approx 4,6\times 10^{-17}.$$ Dans un conducteur, le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction, à $50\mathrm{Hz}$ comme à $1\mathrm{GHz}$ ($9\times 10^{-10}$) : Ampère n'avait aucun moyen de le voir. Le terme de Maxwell ne compte que là où il n'y a pas de courant de conduction : dans les isolants et le vide, entre les armatures d'un condensateur, partout où une onde se propage. Il a fallu attendre Hertz (1887-1888) pour produire et détecter des ondes électromagnétiques et montrer qu'elles se réfléchissent et se polarisent comme la lumière. Cas limite : si ${\epsilon }_0{\mu }_0\to 0$, $c\to \infty$ : les champs suivraient leurs sources instantanément ; c'est le monde des régimes quasi stationnaires, celui du circuit de la question 2. Homogénéité : ${\epsilon }_0\omega$ et $\gamma$ s'expriment tous deux en $\mathrm{S}{\mathrm{m}}^{-1}$.

Le résultat obtenu — Maxwell, 1865 : la lumière est une onde électromagnétique, de célérité $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$. Les équations de Maxwell dans le vide admettent des ondes qui se propagent sans déformation, dans toutes les directions et à toutes les fréquences, à la célérité $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ ; cette vitesse, construite sur la constante d'un condensateur et celle d'une bobine et mesurable par un circuit $LC$ en régime quasi stationnaire, coïncide avec la vitesse de la lumière : la lumière est une onde électromagnétique, et le vide n'est pas dispersif. Numériquement, $c\approx 3,00\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, identique de $10^6$ à $10^{25}\mathrm{Hz}$ à mieux que $10^{-17}$ près.

Ce que le problème installe. Une célérité se lit dans l'équation de propagation, et se mesure sans propagation, par les constantes qu'elle contient. L'analyse dimensionnelle dit que $1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ est une vitesse avant tout calcul. La substitution d'une OPPM donne la relation de dispersion, et la non-dispersion du vide se teste sur tout le spectre. Et le terme de Maxwell, invisible dans les conducteurs, est ce qui rend la lumière possible.