Problème : Newton ou Laplace, la célérité du son

La stratégie. Trois équations au premier ordre, chacune d'une origine physique distincte : la conservation de la masse, la loi de la quantité de mouvement, et une loi thermodynamique qui relie ${\rho }_1$ à $p$. Les deux premières ne dépendent d'aucune hypothèse sur la chaleur ; toute la controverse est dans la troisième, c'est-à-dire dans $\chi$.

1) a) Le bilan de masse. La tranche est fixe : c'est un volume de contrôle que l'air traverse. Elle contient la masse $\rho (x,t)S\mathrm{d}x$. Pendant $\mathrm{d}t$, il entre par la face d'abscisse $x$ la masse $\rho (x,t)v(x,t)S\mathrm{d}t$, et il sort par la face d'abscisse $x+\mathrm{d}x$ la masse $\rho (x+\mathrm{d}x,t)v(x+\mathrm{d}x,t)S\mathrm{d}t$. La masse se conserve : $$\frac{\partial \rho }{\partial t}S\mathrm{d}x\mathrm{d}t=[(\rho v)(x,t)-(\rho v)(x+\mathrm{d}x,t)]S\mathrm{d}t=-\frac{\partial (\rho v)}{\partial x}S\mathrm{d}x\mathrm{d}t,\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial x}=0.$$ Avec $\rho ={\rho }_0+{\rho }_1$ et ${\rho }_0$ uniforme et constant, $\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {\rho }_1}{\partial t}$ et $\rho v={\rho }_{0}v+{\rho }_{1}v$, où ${\rho }_{1}v$ est du second ordre : $$\frac{\partial {\rho }_1}{\partial t}+{\rho }_0\frac{\partial v}{\partial x}=0.$$ Là où l'air converge ($\partial v/\partial x<0$), il s'accumule.

1) b) La loi de la quantité de mouvement. Le système est l'air contenu dans la tranche à l'instant $t$, de masse $\rho S\mathrm{d}x$. Selon ${\overrightarrow{e}}_x$, l'air situé à gauche le pousse avec la force $P(x,t)S$, l'air situé à droite avec la force $-P(x+\mathrm{d}x,t)S$ ; les forces de pression sur la paroi latérale sont perpendiculaires à ${\overrightarrow{e}}_x$, et la pesanteur est négligée. La résultante vaut $$[P(x,t)-P(x+\mathrm{d}x,t)]S=-\frac{\partial P}{\partial x}S\mathrm{d}x=-\frac{\partial p}{\partial x}S\mathrm{d}x,$$ puisque $P_0$ est uniforme : seule la surpression pousse. Pour l'accélération, on suit une particule d'air : à l'instant $t$, elle est en $x$ avec la vitesse $v(x,t)$ ; à l'instant $t+\mathrm{d}t$, elle est en $x+v\mathrm{d}t$, avec la vitesse $v(x+v\mathrm{d}t,t+\mathrm{d}t)$. Sa vitesse a donc varié de $$\mathrm{d}v=\frac{\partial v}{\partial t}\mathrm{d}t+\frac{\partial v}{\partial x}v\mathrm{d}t,a=\frac{\partial v}{\partial t}+v\frac{\partial v}{\partial x}.$$ Pour une onde d'amplitude $v_0$, de pulsation $\omega$ et de nombre d'onde $k=\omega /c$, $\frac{\partial v}{\partial t}$ est de l'ordre de $\omega v_0$ et $v\frac{\partial v}{\partial x}$ de l'ordre de $v_{0}k{v}_0=\omega v_0\frac{v_0}{c}$ : le second terme est plus petit d'un facteur $v_0/c$, du premier ordre ; c'est un terme du second ordre, qu'on néglige. De même, la masse $\rho S\mathrm{d}x$ multiplie une accélération du premier ordre : on la remplace par ${\rho }_{0}S\mathrm{d}x$. La loi de la quantité de mouvement donne, après simplification par $S\mathrm{d}x$, $${\rho }_0\frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}.$$ L'air accélère vers les basses pressions.

1) c) L'équation de d'Alembert. Avec ${\rho }_1={\rho }_0\chi p$, le bilan de masse devient $\chi \frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{\partial v}{\partial x}$. On dérive cette relation par rapport à $t$, et la précédente par rapport à $x$ : $$\chi \frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}=-\frac{{\partial }^{2}v}{\partial t\partial x},{\rho }_0\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial t}=-\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}.$$ Les dérivées croisées de $v$ sont égales ; en les éliminant, $$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}={\rho }_0\chi \frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2},c=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0\chi }}.$$ La vitesse $v$ et ${\rho }_1={\rho }_0\chi p$ obéissent à la même équation. La structure est celle de la corde et de la tige : la raideur est $1/\chi$ (le module de compressibilité, la surpression qu'il faut pour réduire le volume d'une fraction donnée), l'inertie est ${\rho }_0$. Reste à savoir quelle compressibilité : c'est là que Newton et Laplace divergent.

2) Newton : isotherme. Pour un gaz parfait, $\rho =\frac{PM}{RT}$ ; à température fixée, $\rho$ est proportionnelle à $P$ et $\frac{\mathrm{d}\rho }{\rho }=\frac{\mathrm{d}P}{P}$, d'où ${\chi }_T=\frac{1}{P_0}$ et $$c_N=\sqrt{\frac{P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{RT}{M}},$$ soit $$c_N(0{}^{\circ }\mathrm{C})=\sqrt{\frac{8,314\times 273,15}{28,97\times 10^{-3}}}=280,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},c_N(20{}^{\circ }\mathrm{C})=290,1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ À $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, c'est $15,5\%$ de moins que la mesure ($331,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$) : l'écart est bien trop grand pour être une erreur de mesure, et c'est lui que Newton tentait de combler par des corrections faites sur mesure (sa propre valeur numérique, $298\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, dépendait de la masse volumique de l'air qu'il employait).

3) Laplace : isentropique. Pour une masse donnée de gaz, $V$ est proportionnel à $1/\rho$, et la loi de Laplace s'écrit $P{\rho }^{-\gamma }=$ constante ; en différentiant, $\frac{\mathrm{d}P}{P}=\gamma \frac{\mathrm{d}\rho }{\rho }$, d'où $${\chi }_S=\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}P}=\frac{1}{\gamma P_0},c_L=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}=\sqrt{\gamma }{c}_N.$$ Numériquement, $c_L(0{}^{\circ }\mathrm{C})=\sqrt{1,40}\times 280,0=331,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $c_L(20{}^{\circ }\mathrm{C})=343,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : l'accord avec la mesure est parfait. Le facteur $\sqrt{\gamma }=1,183$ est tout l'écart : une compression adiabatique réchauffe l'air, ce qui augmente encore sa pression, et l'air paraît plus raide ($\gamma P_0$ au lieu de $P_0$) que si la chaleur s'échappait.

À température donnée, ${\rho }_0=P_{0}M/(RT)$ est proportionnelle à $P_0$ : raideur et inertie croissent ensemble, et la célérité ne dépend pas de la pression. Elle croît comme $\sqrt{T}$ : $\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}T}=\frac{c}{2T}=\frac{343,2}{2\times 293,15}=0,59\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$ autour de $20{}^{\circ }\mathrm{C}$. Au sommet d'une montagne, le son ne va moins vite que parce qu'il y fait plus froid. Les mesures de l'époque de Newton ($348\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$) correspondent, par cette loi, à un air à $28{}^{\circ }\mathrm{C}$ environ, un jour d'été.

Célérité du son dans l'air selon les deux hypothèses : le rapport vaut $\sqrt{\gamma }=1,183$ à toute température.

4) Pourquoi adiabatique. Pour que la compression soit isotherme, il faudrait que la chaleur produite dans la zone comprimée gagne la zone détendue, à $\lambda /2$, pendant une fraction de période. À $1\mathrm{kHz}$, $\lambda =343,2/1000=0,343\mathrm{m}$ et $${\tau }_{\mathrm{diff}}\approx \frac{(\lambda /2{)}^2}{D}=\frac{0,172^2}{2,1\times 10^{-5}}=1,4\times 10^3\mathrm{s},$$ vingt-trois minutes, contre une période de $1\mathrm{ms}$ : un rapport $1,4\times 10^6$. À $20\mathrm{kHz}$, $\lambda /2=8,6\mathrm{mm}$ et ${\tau }_{\mathrm{diff}}=3,5\mathrm{s}$, contre $50\mu \mathrm{s}$ : un rapport $7,0\times 10^4$. La chaleur n'a pas le temps de bouger ; chaque tranche d'air se comprime et se détend sans échange de chaleur : la transformation est adiabatique, et, faite sans frottement ni échange, réversible, donc isentropique.

Pour que l'onde soit isotherme, la chaleur devrait franchir $\lambda /2$ en une fraction de période : il lui faut des secondes, voire des minutes.

Le rapport vaut $\frac{{\tau }_{\mathrm{diff}}}{1/f}=\frac{c^2}{4Df}$ : il décroît comme $1/f$, car la distance à franchir diminue comme $1/f$ et la durée de diffusion comme son carré. Il vaudrait $1$ pour $$f^{\ast }=\frac{c^2}{4D}=\frac{343,2^2}{4\times 2,1\times 10^{-5}}=1,4\times 10^9\mathrm{Hz},{\lambda }^{\ast }=\frac{c}{f^{\ast }}=0,24\mu \mathrm{m},$$ à peine quatre libres parcours moyens : à cette échelle, l'air n'est plus un milieu continu, et l'acoustique elle-même n'a plus de sens. Dans tout le domaine où l'air se comporte comme un milieu continu, le son y est adiabatique. Ce sont les petits écarts à cette idéalisation (un peu de chaleur échangée, un peu de viscosité) qui absorbent le son, d'autant plus que la fréquence est élevée.

5) a) La flûte. Les fréquences sont proportionnelles à $c$, donc à $\sqrt{T}$ : $\frac{f(30{}^{\circ }\mathrm{C})}{f(20{}^{\circ }\mathrm{C})}=\sqrt{\frac{303,15}{293,15}}=1,0169$, soit $1200{\log }_2(1,0169)=29$ cents, près d'un tiers de demi-ton : une oreille exercée l'entend. Les flûtistes « chauffent » leur instrument en soufflant dedans avant de s'accorder, et l'instrument monte pendant le concert.

5) b) L'hélium. $c=\sqrt{\frac{5}{3}\times \frac{8,314\times 293,15}{4,00\times 10^{-3}}}=1,01\times 10^3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $2,94$ fois plus que dans l'air : $\gamma$ est plus grand, et surtout la masse molaire sept fois plus petite. La vibration des cordes vocales, fixée par leur tension et leur masse, ne change pas : la hauteur de la voix reste presque la même. Les résonances du conduit vocal, proportionnelles à $c$ pour une géométrie donnée, sont multipliées par $2,94$ : le timbre change, la voix paraît nasillarde et aiguë, alors que sa fréquence fondamentale n'a pas bougé.

5) c) L'anémomètre. Sans vent, à $20{}^{\circ }\mathrm{C}$, $t_0=d/c=0,150/343,2=437,1\mu \mathrm{s}$. Comme $c\propto \sqrt{T}$, $t\propto T^{-1/2}$ et $$\left|\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}T}\right|=\frac{t_0}{2T}=\frac{437,1}{2\times 293,15}=0,75\mu \mathrm{s}{\mathrm{K}}^{-1}:$$ pour mesurer la température au dixième de degré, il faut dater les impulsions à $75\mathrm{ns}$ près, ce que fait sans peine une électronique cadencée à quelques dizaines de mégahertz. Avec le vent, $$\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{2c}{d},\frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}=\frac{2u}{d}:$$ la somme des inverses donne $c$, donc la température $T=\frac{M{c}^2}{\gamma R}$ ; leur différence donne le vent. Pour $u=5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $t_1=0,150/348,2=430,8\mu \mathrm{s}$ et $t_2=0,150/338,2=443,5\mu \mathrm{s}$ : l'écart, $12,7\mu \mathrm{s}$, vaut dix-sept fois l'effet d'un kelvin. Une mesure dans un seul sens confondrait le vent et la température ; la mesure aller et retour les sépare. (L'humidité, qui change un peu $M$ et $\gamma$, impose une petite correction.)

6) Le résultat. Dans l'approximation acoustique, la conservation de la masse, la loi de la quantité de mouvement et la compressibilité du fluide donnent, pour la surpression, l'équation de d'Alembert de célérité $c=1/\sqrt{{\rho }_0\chi }$. Les compressions et détentes d'une onde sonore sont adiabatiques et réversibles, parce que la chaleur n'a pas le temps de diffuser sur une demi-longueur d'onde tant que l'air se comporte comme un milieu continu : $\chi ={\chi }_S$. Pour un gaz parfait, c'est la célérité de Laplace, $$c=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0{\chi }_S}}=\sqrt{\frac{\gamma P_0}{{\rho }_0}}=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}},$$ indépendante de la pression, proportionnelle à $\sqrt{T}$, plus grande d'un facteur $\sqrt{\gamma }$ que la célérité isotherme de Newton : $331,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, $343,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ à $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ dans l'air. Domaine : petites perturbations ($\epsilon \ll 1$), gaz parfait, longueur d'onde grande devant le libre parcours moyen.

Ce que l'exercice installe. Établir l'équation des ondes sonores à une dimension : un bilan de masse sur une tranche fixe, la loi de la quantité de mouvement sur l'air d'une tranche (avec une accélération dont le terme non linéaire est du second ordre), une loi de comportement thermodynamique, et la linéarisation à chaque étape. Voir que toute la physique de la célérité est dans la compressibilité : isotherme, elle donne $15\%$ de trop peu ; isentropique, elle donne la mesure. Justifier une hypothèse par une comparaison de durées (diffusion contre période) et en déduire son domaine. Lire $c\propto \sqrt{T/M}$ dans des situations réelles : un instrument qui se désaccorde, une voix à l'hélium, un anémomètre qui mesure la température au dixième de degré.