Reconnaître une polarisation rectiligne et trouver sa direction : polariseur et grille de fils

La stratégie. La polarisation se lit en un point fixe, en suivant l'extrémité de $\overrightarrow{E}$. Expérimentalement, on cherche une orientation du polariseur qui éteint l'onde, signature d'une polarisation rectiligne. Pour la grille, on raisonne sur les électrons des fils.

1) $\phi =0$ et $\phi =\pi$. Pour $\phi =0$ : $\overrightarrow{E}=\cos (\omega t-kx)(3{\overrightarrow{e}}_y+4{\overrightarrow{e}}_z)$. Le vecteur $3{\overrightarrow{e}}_y+4{\overrightarrow{e}}_z$ est fixe : $\overrightarrow{E}$ oscille le long d'une direction fixe, faisant avec ${\overrightarrow{e}}_y$ l'angle $\arctan (4/3)\approx 53,1^{\circ }$, avec l'amplitude $\sqrt{3^2+4^2}=5$. Pour $\phi =\pi$ : $\cos (\omega t-kx+\pi )=-\cos (\omega t-kx)$, donc $\overrightarrow{E}=\cos (\omega t-kx)(3{\overrightarrow{e}}_y-4{\overrightarrow{e}}_z)$ : rectiligne, à $-53,1^{\circ }$ de ${\overrightarrow{e}}_y$, amplitude $5$. L'extrémité de $\overrightarrow{E}$ décrit un segment.

2) Le critère. En $x=0$, $\overrightarrow{E}(0)=E_1{\overrightarrow{e}}_y+E_2\cos \phi {\overrightarrow{e}}_z$ et $\overrightarrow{E}(T/4)=E_1\cos \frac{\pi }{2}{\overrightarrow{e}}_y+E_2\cos \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right){\overrightarrow{e}}_z=-E_2\sin \phi {\overrightarrow{e}}_z$. Condition nécessaire : si la polarisation est rectiligne, tous les vecteurs $\overrightarrow{E}(t)$ sont colinéaires à une même direction ; en particulier $\overrightarrow{E}(0)$ et $\overrightarrow{E}(T/4)$ sont colinéaires, donc leur déterminant dans la base $({\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)$ est nul : $E_1\times (-E_2\sin \phi )-0=0$, d'où $\sin \phi =0$ puisque $E_1{E}_2\ne 0$. Condition suffisante : si $\sin \phi =0$, $\phi \equiv 0$ ou $\pi$, et la question 1 montre que la direction est fixe. Donc la polarisation est rectiligne si et seulement si $\phi \equiv 0[\pi ]$ (ou si l'une des amplitudes est nulle). Pour tout autre déphasage, l'extrémité de $\overrightarrow{E}$ décrit une courbe fermée, qui n'est pas un segment.

3) Le test du polariseur. La composante transmise vaut $E_P(t)=\overrightarrow{E}\cdot {\overrightarrow{u}}_P$. Pour $\phi =0$, en $x=0$ : $E_P(t)=(3\cos \beta +4\sin \beta )\cos \omega t$. L'onde est éteinte si $3\cos \beta +4\sin \beta =0$, soit $\tan \beta =-3/4$, $\beta \approx -36,9^{\circ }$ (ou $143,1^{\circ }$) : l'axe du polariseur est perpendiculaire à la direction de polarisation ($53,1^{\circ }-90^{\circ }=-36,9^{\circ }$). Pour $\phi =\pi /2$ : $E_P(t)=3\cos \beta \cos \omega t-4\sin \beta \sin \omega t$. L'extinction exigerait que ce signal soit nul à chaque instant, donc que ses deux coefficients soient nuls : $\cos \beta =0$ et $\sin \beta =0$, ce qui est impossible. Aucune orientation n'éteint l'onde. Protocole : on fait tourner le polariseur devant le détecteur. S'il existe une orientation qui éteint l'onde, la polarisation est rectiligne, et sa direction est perpendiculaire à l'axe du polariseur à l'extinction. Sinon, elle ne l'est pas. Lumière naturelle : la direction de $\overrightarrow{E}$ fluctue aléatoirement et très vite ; aucune orientation ne l'éteint, et le signal transmis ne dépend pas de l'orientation. À la sortie d'un premier polariseur, la lumière est polarisée rectilignement selon son axe : un second polariseur, croisé avec le premier, l'éteint.

4) La grille de fils. a) $\lambda =c/f=3,0\mathrm{cm}$, six fois l'espacement des fils : l'onde ne « voit » pas les fils un par un, mais une surface conductrice dans une seule direction. b) Quand les fils sont parallèles à $\overrightarrow{E}$, le champ met en mouvement les électrons libres le long des fils : les courants alternatifs ainsi créés rayonnent une onde qui annule l'onde incidente derrière la grille et la renvoie vers l'émetteur, comme un miroir métallique. Quand les fils sont perpendiculaires à $\overrightarrow{E}$, les électrons ne peuvent se déplacer que sur l'épaisseur d'un fil : aucun courant notable, l'onde passe. L'axe de transmission de la grille est donc perpendiculaire aux fils. Le piège : l'image de la « palissade » qui laisserait passer la vibration parallèle aux barreaux est fausse ; c'est exactement l'inverse. c) Le brin d'une antenne est un fil où les électrons doivent être mis en mouvement : on le place parallèle à $\overrightarrow{E}$. C'est pourquoi les râteaux de télévision sont montés horizontaux ou verticaux selon la polarisation de l'émetteur.

Ce que l'exercice installe. Une polarisation est rectiligne si et seulement si les deux composantes sont en phase ou en opposition. On la met en évidence par l'extinction derrière un polariseur, qui donne sa direction (perpendiculaire à l'axe à l'extinction). Et une grille de fils transmet la composante perpendiculaire aux fils : l'axe d'un polariseur se lit sur sa physique, pas sur son apparence.