Vérifier qu'une fonction est solution — exercice corrigé de physique des ondes 2 (PC) (chapitre 1)

Vérifier qu'une fonction est solution

L'équation de d'Alembert · niveau 1 (application)

Énoncé

Montrer que $s (x, t) = s_{0} e^{- (x - c t)^{2} / a^{2}}$ (gaussienne se propageant) est solution de l'équation de d'Alembert. Interpréter.

Corrigé

Posons $u = x - c t$ ; alors $s = h (u)$ avec $h (u) = s_{0} e^{- u^{2} / a^{2}}$ , $\frac{\partial u}{\partial x} = 1$ et $\frac{\partial u}{\partial t} = - c$ . Par dérivation composée, $\frac{\partial s}{\partial x} = h^{'} (u)$ et $\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = h^{''} (u)$ ; de même $\frac{\partial s}{\partial t} = - c h^{'} (u)$ et $\frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = c^{2} h^{''} (u)$ . Donc $\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = h^{''} (u)$ : l'équation est vérifiée, et elle le serait pour toute fonction de $u = x - c t$ . La gaussienne se translate sans déformation à la vitesse $c$ vers les $x$ croissants (milieu non dispersif).