Dissipation par effet de peau — exercice corrigé de physique des ondes 2 (PC) (chapitre 2)

Dissipation par effet de peau

Propagation linéaire unidimensionnelle : dispersion et absorption · niveau 2

Énoncé

Dans un conducteur ohmique occupant $z > 0$ , le champ s'écrit $E = E_{0} e^{- z / δ} cos (ω t - z / δ) e_{x}$ .

Exprimer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans un cylindre de section $S$ et d'axe $O z$ , s'étendant de $z = 0$ à l'infini, en fonction de $E_{0}$ , $γ$ , $δ$ et $S$ .
Comparer au flux moyen du vecteur de Poynting qui entre par la surface $z = 0$ . Conclure.
Application : cuivre à $1 G H z$ , $E_{0} = 0.10 V . m^{- 1}$ sous la surface. Puissance dissipée par mètre carré ?

Corrigé

1. La puissance volumique moyenne vaut $⟨  \cdot E ⟩ = γ ⟨ E^{2} ⟩ = \frac{γ E _{0}^{2}}{2} e^{- 2 z / δ}$ (la moyenne du cosinus carré vaut $\frac{1}{2}$ ). On intègre sur le cylindre :

$P_{J} = S \int_{0}^{\infty} \frac{γ E _{0}^{2}}{2} e^{- 2 z / δ} d z = S \frac{γ E _{0}^{2}}{2} \cdot \frac{δ}{2} = \frac{γ E _{0}^{2} δ}{4} S .$

Tout se passe comme si le champ de surface régnait, uniforme, sur une épaisseur $δ /2$ .

2. Le cours donne $⟨ Π_{z} ⟩ (0) = \frac{E _{0}^{2}}{2 μ _{0} ω δ}$ . Avec $μ_{0} ω = 2/ (γ δ^{2})$ , il vient $⟨ Π_{z} ⟩ (0) = \frac{γ E _{0}^{2} δ}{4}$ : le flux d'énergie qui entre par la surface est exactement la puissance dissipée par effet Joule dans le volume (le flux est nul à l'infini). L'atténuation de l'onde est le bilan de cette dissipation.

3. $δ = 2.05 μ m$ , d'où $P_{J} / S = \frac{6.0 \times 1 0 ^{7} \times 0 , 010 \times 2.05 \times 1 0 ^{- 6}}{4} \approx 0.31 W . m^{- 2}$ . C'est cette puissance, perdue dans les parois, qui limite la qualité des cavités et des guides métalliques en hyperfréquences.