Épaisseur de peau du cuivre à différentes fréquences

Propagation linéaire unidimensionnelle : dispersion et absorption · niveau 1 (application)

Énoncé

Le cuivre a pour conductivité $γ = 6.0 \times 1 0^{7} S / m$ ; $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H / m$ .

Estimer l'épaisseur de peau $δ$ à $50 H z$ et à $1.0 M H z$ . Quel est le facteur entre les deux ? Conséquence pour un câble de section donnée.
Compléter à $1 G H z$ et $10 G H z$ , et comparer $δ$ à la longueur d'onde dans le vide. Vérifier que le courant de déplacement reste négligeable.
On admet que l'amplitude du champ qui atteint la face arrière d'une plaque d'épaisseur $d$ est de l'ordre de $e^{- d / δ}$ fois celle de la face avant. Une feuille de cuivre de $0.1 mm$ protège-t-elle d'une onde de $1 G H z$ ? de $1 M H z$ ? Une plaque de $2 mm$ protège-t-elle du champ d'un transformateur à $50 H z$ ?

Corrigé

1. $δ = \frac{2}{μ _{0} γ ω} = \frac{1}{π μ _{0} γ f} \approx \frac{0.065 m}{f / ( 1 H z )}$ . À $50 H z$ : $δ \approx 9.2 mm$ . Comme $δ \propto 1/ f$ , passer à $1 M H z$ divise $δ$ par $2 \times 1 0^{4} \approx 141$ , soit $δ \approx 65 μ m$ . À $50 H z$ , un conducteur de quelques millimètres est parcouru par un courant presque uniforme ; à $1 M H z$ , le courant se concentre dans une pellicule superficielle, la résistance effective augmente : on utilise des câbles multibrins isolés (fil de Litz).

$f$	$50 H z$	$1 M H z$	$1 G H z$	$10 G H z$
$δ$	$9.2 mm$	$65 μ m$	$2.1 μ m$	$0.65 μ m$
$λ = c / f$	$6000 k m$	$300 m$	$30 c m$	$3.0 c m$
$δ / λ$	1.5 × 10^-9	2.2 × 10^-7	6.9 × 10^-6	2.2 × 10^-5

L'onde s'éteint dans le métal sur une distance toujours infime devant sa longueur d'onde dans le vide. Le rapport des courants de déplacement et de conduction vaut $ε_{0} ω / γ$ , au plus $8.85 \times 1 0^{- 12} \times 6.3 \times 1 0^{10} /6.0 \times 1 0^{7} \approx 9 \times 1 0^{- 9}$ à $10 G H z$ : négligeable.

3. À $1 G H z$ , $d / δ = e - 4/2.05 \times 1 0^{- 6} \approx 49$ : facteur $e^{- 49} \approx 7 \times 1 0^{- 22}$ , écran parfait. À $1 M H z$ , $d / δ \approx 1, 5$ : facteur $\approx 0, 21$ , un cinquième du champ passe. À $50 H z$ , une plaque de $2 mm$ a $d / δ \approx 0, 22$ : facteur $0, 80$ , elle n'arrête presque rien. Le même objet est un écran ou non selon la fréquence : un blindage se juge en comparant son épaisseur à $δ$ .

Une pente $- 1/2$ en échelles logarithmiques : $δ$ est divisée par $10$ quand $f$ est multipliée par $100$ .