Où est l'énergie d'une onde dans un plasma ? Vitesse de l'énergie et onde évanescente

La stratégie. Bilan complet de l'énergie : champ électrique, champ magnétique et, point délicat, mouvement des électrons, que l'identité de Poynting oblige à compter. Le rapport du flux moyen à la densité moyenne est une vitesse, que l'on compare à $v_g$ ; puis on refait le bilan sous la coupure.

1) Le champ magnétique. Pour une onde plane progressive harmonique de vecteur d'onde réel $k{\overrightarrow{e}}_z$, Maxwell-Faraday donne $\underline{\overrightarrow{B}}=\frac{k}{\omega }{\overrightarrow{e}}_z\wedge \underline{\overrightarrow{E}}$, soit $$\overrightarrow{B}=\frac{k{E}_0}{\omega }\cos (\omega t-kz){\overrightarrow{e}}_y.$$ Avec $⟨{\cos }^2⟩=\frac{1}{2}$ : $⟨u_E⟩=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{4}$ et $$⟨u_B⟩=\frac{1}{2{\mu }_0}\cdot \frac{k^2{E}_0^2}{2{\omega }^2}=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{4}\cdot \frac{c^2{k}^2}{{\omega }^2},$$ en utilisant $\frac{1}{{\mu }_0}={\epsilon }_0{c}^2$. Comme $c^2{k}^2={\omega }^2-{\omega }_p^2<{\omega }^2$, le champ magnétique stocke moins que le champ électrique, contrairement au vide où les deux sont égales.

2) L'énergie qui se conserve. Pour les électrons, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à l'unité de volume s'écrit $\frac{\partial u_{\mathrm{cin}}}{\partial t}=\overrightarrow{ȷ}\cdot \overrightarrow{E}$ : la puissance que le champ cède est celle que les électrons reçoivent (exercice 2). En ajoutant cette relation à l'identité de Poynting : $$\frac{\partial }{\partial t}(u_E+u_B+u_{\mathrm{cin}})+\mathrm{div}\overrightarrow{\Pi }=0.$$ C'est une équation de conservation sans terme de perte : l'énergie de l'onde dans le plasma est $u=u_E+u_B+u_{\mathrm{cin}}$, et elle est transportée par $\overrightarrow{\Pi }$. En moyenne : $$⟨u⟩=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{4}(1+\frac{c^2{k}^2}{{\omega }^2}+\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2})=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{4}(1+\frac{{\omega }^2-{\omega }_p^2}{{\omega }^2}+\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2})=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}.$$ Ce que le champ magnétique perd par rapport au vide, les électrons le gagnent exactement.

3) La vitesse de l'énergie. $\overrightarrow{\Pi }=\frac{\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}}{{\mu }_0}=\frac{k{E}_0^2}{{\mu }_0\omega }{\cos }^2(\omega t-kz){\overrightarrow{e}}_z$, donc $⟨\overrightarrow{\Pi }⟩=\frac{k{E}_0^2}{2{\mu }_0\omega }{\overrightarrow{e}}_z$, et $$v_E=\frac{k{E}_0^2/2{\mu }_0\omega }{{\epsilon }_0{E}_0^2/2}=\frac{k}{{\mu }_0{\epsilon }_0\omega }=\frac{c^{2}k}{\omega }.$$ D'autre part, en différentiant ${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2$, il vient $2\omega \mathrm{d}\omega =2c^{2}k\mathrm{d}k$, soit $v_g=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}k}=\frac{c^{2}k}{\omega }$. Donc $$v_E=v_g=c\sqrt{1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}}<c.$$ L'énergie avance à la vitesse de groupe. C'est une interprétation de $v_g$ obtenue sans aucun paquet d'ondes, par un simple bilan, et elle donne $v_g<c$, ce qu'exige la relativité pour un transport d'énergie. On remarque au passage $v_{\phi }{v}_g=\frac{\omega }{k}\cdot \frac{c^{2}k}{\omega }=c^2$.

4) Les nombres à $12\mathrm{MHz}$. $\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}=(\frac{9}{12}{)}^2=0,5625$. Rapportées à $⟨u⟩=2⟨u_E⟩$, les parts valent : électrique $\frac{1}{2}=50\%$ ; magnétique $\frac{1-0,5625}{2}\approx 21,9\%$ ; cinétique $\frac{0,5625}{2}\approx 28,1\%$. Puis $v_g=c\sqrt{0,4375}\approx 0,661c\approx 1,98\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $v_{\phi }=c^2/v_g\approx 1,51c$. Plus du quart de l'énergie de l'onde est portée par le mouvement d'ensemble des électrons.

5) Sous la coupure. À $5\mathrm{MHz}$, $k^2=\frac{{\omega }^2-{\omega }_p^2}{c^2}<0$ : $\underline{k}=-\mathrm{j}/\delta$ (amplitude bornée vers les $z>0$), avec $$\delta =\frac{c}{\sqrt{{\omega }_p^2-{\omega }^2}}=\frac{c}{2\pi \sqrt{f_p^2-f^2}}=\frac{3,00\times 10^8}{2\pi \times \sqrt{56}\times 10^6}\approx 6,4\mathrm{m}.$$ Alors $\underline{\overrightarrow{E}}=E_0{\mathrm{e}}^{-z/\delta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}{\overrightarrow{e}}_x$ et Maxwell-Faraday, qui reste valable avec $\underline{k}$ complexe, donne $\underline{\overrightarrow{B}}=\frac{\underline{k}}{\omega }{\overrightarrow{e}}_z\wedge \underline{\overrightarrow{E}}=-\frac{\mathrm{j}}{\omega \delta }{E}_0{\mathrm{e}}^{-z/\delta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega t}{\overrightarrow{e}}_y$. En réels : $$\overrightarrow{E}=E_0{\mathrm{e}}^{-z/\delta }\cos \omega t{\overrightarrow{e}}_x,\overrightarrow{B}=\frac{E_0}{\omega \delta }{\mathrm{e}}^{-z/\delta }\sin \omega t{\overrightarrow{e}}_y.$$ $\overrightarrow{B}$ est en quadrature avec $\overrightarrow{E}$. Le vecteur de Poynting vaut $$\overrightarrow{\Pi }=\frac{E_0^2}{{\mu }_0\omega \delta }{\mathrm{e}}^{-2z/\delta }\cos \omega t\sin \omega t{\overrightarrow{e}}_z=\frac{E_0^2}{2{\mu }_0\omega \delta }{\mathrm{e}}^{-2z/\delta }\sin 2\omega t{\overrightarrow{e}}_z,$$ de moyenne nulle : l'énergie entre dans la couche pendant un quart de période et en ressort pendant le suivant. Aucune énergie n'est transportée en moyenne vers les $z>0$ ; comme le plasma ne dissipe rien (exercice 2), toute l'énergie incidente repart : réflexion totale. C'est la justification énergétique de l'exercice 3.

6) Cas limites. Quand $\omega \to {\omega }_p^{+}$, $k\to 0$ : $v_E=v_g\to 0$, l'énergie s'arrête ; $⟨u_B⟩\to 0$ et $⟨u_{\mathrm{cin}}⟩\to ⟨u_E⟩$ : l'énergie est pour moitié électrique, pour moitié cinétique, et c'est l'oscillation plasma elle-même, un échange sur place entre champ électrique et électrons, sans champ magnétique. Quand $\omega \to \infty$, ${\omega }_p^2/{\omega }^2\to 0$ : $v_E\to c$, $⟨u_{\mathrm{cin}}⟩\to 0$ et $⟨u_B⟩\to ⟨u_E⟩$ : on retrouve l'équipartition de l'onde dans le vide.

Ce que l'exercice installe. Dans un milieu matériel, le bilan d'énergie doit compter la matière : ici l'énergie cinétique des électrons, que l'identité de Poynting et le théorème de l'énergie cinétique imposent ensemble. Le rapport flux moyen sur densité moyenne définit la vitesse de l'énergie, et dans le plasma elle est égale à $v_g$ : c'est une interprétation de la vitesse de groupe. Sous la coupure, $\overrightarrow{B}$ et $\overrightarrow{E}$ en quadrature donnent un flux moyen nul : l'onde évanescente ne transporte rien, elle renvoie tout.