Paquet d'ondes en Python : quand l'étalement devient-il visible ?

1. ${\omega }^{\prime }=\frac{c^{2}k}{\omega }=v_g$, puis ${\omega }^{\prime \prime }=\frac{c^2}{\omega }-\frac{c^{2}k}{{\omega }^2}{\omega }^{\prime }=\frac{c^2({\omega }^2-c^2{k}^2)}{{\omega }^3}=\frac{c^2{\omega }_p^2}{{\omega }^3}>0$ : la vitesse de groupe croît avec $k$.

2. En unités réduites, $T={\sigma }^2{\omega }_0^3$ avec ${\omega }_0=\sqrt{1+k_0^2}$. Pour $(4,6)$ : ${\omega }_0=\sqrt{17}=4,12$, $T=36\times 70,1\approx 2520$ ; en $t=180$, $t/T=0,071$ et le facteur vaut $\sqrt{1+0,071^2}=1,0025$ : $+0,25$ %, invisible sur une figure. Pour $(2,2)$ : ${\omega }_0=\sqrt{5}=2,24$, $T=4\times 11,2\approx 44,7$ ; en $t=180$, $t/T=4,03$ et le facteur vaut $4,15$.

3. On relance le programme du cours pour chaque couple $(k_0,\sigma )$, puis :

def mesure(t):
    p = np.abs(paquet(t))**2                      # carre de l'enveloppe
    xm = np.sum(x*p)/np.sum(p)                    # centre (barycentre)
    return xm, np.sqrt(np.sum((x - xm)**2*p)/np.sum(p))

w0 = omega(k0)
T = sigma**2 * w0**3 / (c**2 * omega_p**2)
(_, l0), (xm, l) = mesure(0.0), mesure(180.0)
print("T = %.1f ; largeur x %.4f (prevision x %.4f) ; centre %.1f (v_g t = %.1f)"

Pour $(4,6)$ : $T=2523,3$, largeur $\times 1,0026$ (prévision $\times 1,0025$), centre en $174,6$ ($v_{g}t=174,6$). Pour $(2,2)$ : $T=44,7$, largeur $\times 4,87$ (prévision $\times 4,15$), centre en $159,7$ ($v_{g}t=161,0$). Le premier paquet est une enveloppe rigide qui avance à $v_g$ ; le second s'étale nettement. L'écart à la prévision ($17$ %) vient de la largeur de son spectre : $\Delta k\sim 1/\sigma =0,5$ n'est pas petit devant $k_0=2$, et le développement au second ordre de $\omega (k)$ ne suffit plus.

4. L'étalement est négligeable tant que $t\ll T={\sigma }^2/|{\omega }^{\prime \prime }|$, soit sur une distance $v_{g}T$. Un paquet long (grand $\sigma$, spectre étroit) dans un milieu peu dispersif (petit ${\omega }^{\prime \prime }$) garde sa forme : c'est le cadre dans lequel on assimile le paquet à une enveloppe rigide. Le temps $T$ croît comme ${\sigma }^2$ : un paquet deux fois plus court s'étale quatre fois plus vite.