Paquet d'ondes : l'enveloppe avance à la vitesse de groupe

Propagation linéaire unidimensionnelle : dispersion et absorption · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un paquet d'ondes s'écrit $s (x, t) = \int A (ω) e^{j (ω t - k (ω) x)} d ω$ , où le spectre $A (ω)$ n'est notable que sur une bande étroite $[ω_{0} - Δ ω /2, ω_{0} + Δ ω /2]$ , dans un milieu transparent ( $k$ réel) faiblement dispersif. En développant $k (ω)$ au premier ordre autour de $ω_{0}$ , montrer que $s (x, t) = e^{j (ω_{0} t - k_{0} x)} F (t - x / v_{g})$ , où $F$ est une fonction que l'on exprimera. Interpréter. À quelle condition le terme suivant du développement est-il négligeable ?

Corrigé

On pose $ω = ω_{0} + Ω$ et $k (ω) \approx k_{0} + Ω/ v_{g}$ , avec $\frac{1}{v _{g}} = \frac{d k}{d ω} (ω_{0})$ . Alors $ω t - k (ω) x \approx (ω_{0} t - k_{0} x) + Ω (t - x / v_{g})$ , et

$s (x, t) \approx e^{j (ω_{0} t - k_{0} x)} \int A (ω_{0} + Ω) e^{j Ω (t - x / v_{g})} d Ω = e^{j (ω_{0} t - k_{0} x)} F (t - x / v_{g}),$

avec $F (u) = \int A (ω_{0} + Ω) e^{j Ω u} d Ω$ . Le signal est le produit d'une porteuse, qui avance à $v_{φ} = ω_{0} / k_{0}$ , et d'une enveloppe $∣ F ∣$ , qui ne dépend que de $t - x / v_{g}$ : elle se propage sans se déformer à la vitesse de groupe. Sa durée est de l'ordre de $1/Δ f$ (relation $Δ f \cdot Δ t \sim 1$ ). Le terme suivant, $\frac{1}{2} \frac{d ^{2} k}{d ω ^{2}} Ω^{2} x$ , est négligeable tant que $\frac{1}{2} \frac{d ^{2} k}{d ω ^{2}} Δ ω^{2} x ≪ 1$ : au-delà de cette distance, les composantes se déphasent et le paquet s'étale.

L'enveloppe (tirets) s'est déplacée de $v_{g} t$ ; à l'intérieur, les crêtes ont glissé, puisqu'elles avancent à $v_{φ} \neq = v_{g}$ .