Problème : la mesure de dispersion des pulsars (et la correction ionosphérique du GPS)

La stratégie. Le temps de trajet d'une impulsion est l'intégrale de $\mathrm{d}l/v_g$. La fréquence plasma du milieu interstellaire est si petite devant les fréquences radio qu'un développement au premier ordre suffit : il fait apparaître un retard en $1/f^2$ proportionnel à la seule colonne d'électrons, d'où tout le reste découle.

1) La vitesse de groupe. En différentiant la relation de dispersion, $2\omega \mathrm{d}\omega =2c^{2}k\mathrm{d}k$, donc $$v_g=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}k}=\frac{c^{2}k}{\omega }=\frac{c^2}{\omega }\cdot \frac{\sqrt{{\omega }^2-{\omega }_p^2}}{c}=c\sqrt{1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}}=c\sqrt{1-\frac{f_p^2}{f^2}}.$$ Elle est inférieure à $c$ et croît avec $f$ : les hautes fréquences arrivent les premières. Dans un milieu homogène, le trajet dure $t=L/v_g$.

2) Le développement. Avec $n_e=3\times 10^4{\mathrm{m}}^{-3}$, $f_p\approx 8,98\times \sqrt{3\times 10^4}\approx 1,6\mathrm{kHz}$ : c'est cinq ordres de grandeur sous les fréquences d'observation, et $x=f_p^2/f^2$ vaut au plus $(1,6\times 10^3/10^8{)}^2\approx 3\times 10^{-10}$. Le développement $(1-x{)}^{-1/2}=1+\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}+\dots$ s'arrête donc au premier ordre, le terme suivant étant $10^{-10}$ fois plus petit : $$\frac{1}{v_g}=\frac{1}{c}(1-\frac{f_p^2}{f^2}{)}^{-1/2}\approx \frac{1}{c}(1+\frac{f_p^2}{2f^2}).$$ Cas limite : quand $f\to \infty$, le temps de trajet tend vers $L/c$, celui du vide ; les électrons ne suivent plus l'onde. Le retard relatif est minuscule (de l'ordre de $10^{-10}$), mais sur des milliers d'années de trajet il atteint la seconde. Enfin, sous une dizaine de mégahertz, c'est l'ionosphère, de fréquence critique $9\mathrm{MHz}$ le jour (exercice 3), qui renvoie le signal vers l'espace avant qu'il atteigne le sol.

3) Le retard en $1/f^2$. Le milieu varie sur des distances astronomiques, immensément plus grandes que la longueur d'onde (au plus $3\mathrm{m}$) : chaque tranche $\mathrm{d}l$ se traite comme un plasma homogène de densité $n_e(l)$, de fréquence plasma $f_p^2(l)=\frac{n_e(l)e^2}{4{\pi }^2{\epsilon }_{0}m}$. La tranche est traversée en $$\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}l}{v_g}\approx \frac{\mathrm{d}l}{c}(1+\frac{n_e(l)e^2}{8{\pi }^2{\epsilon }_{0}m{f}^2}),$$ et, en intégrant de la source au télescope : $$t(f)=\frac{L}{c}+\frac{e^2}{8{\pi }^2{\epsilon }_{0}mc}\cdot \frac{1}{f^2}{\int }_0^L{n}_e\mathrm{d}l=\frac{L}{c}+\frac{K\mathrm{DM}}{f^2}.$$ Numériquement, $\frac{e^2}{8{\pi }^2{\epsilon }_{0}m}=\frac{(1,602\times 10^{-19}{)}^2}{8{\pi }^2\times 8,854\times 10^{-12}\times 9,109\times 10^{-31}}\approx 40,3{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$, d'où $K=40,3/c\approx 1,345\times 10^{-7}$ (SI : ${\mathrm{s}}^{-1}{\mathrm{m}}^2$, de sorte que $K\mathrm{DM}/f^2$ est un temps). Avec $1\mathrm{pc}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}=3,086\times 10^{16}\times 10^6=3,086\times 10^{22}{\mathrm{m}}^{-2}$ et $f$ en gigahertz : $$\frac{K\mathrm{DM}}{f^2}\approx 4,15\mathrm{ms}\times \frac{\mathrm{DM}}{1\mathrm{pc}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}}\times (\frac{f}{1\mathrm{GHz}}{)}^{-2}.$$ Le terme $L/c$ (des milliers d'années) est le même à toutes les fréquences, et l'on ne connaît pas l'instant d'émission : il est inobservable. Seules les différences d'arrivée entre fréquences se mesurent, et elles ne dépendent que de $\mathrm{DM}$, la colonne d'électrons sur le trajet, appelée mesure de dispersion.

4a) Le Crabe. L'écart d'arrivée vaut $$t(0,4)-t(1,4)=4,15\mathrm{ms}\times 56,8\times (\frac{1}{0,4^2}-\frac{1}{1,4^2})=235,7\mathrm{ms}\times (6,25-0,51)\approx 1,35\mathrm{s},$$ soit $1,35/0,0337\approx 40$ périodes. On ne peut donc pas associer les impulsions de deux canaux éloignés sans connaître la loi : on suit la même impulsion de canal en canal, de proche en proche, et les instants d'arrivée s'alignent sur une courbe $t=t_{\infty }+A/f^2$. Les retards par rapport à $t_{\infty }$ valent $1,47\mathrm{s}$ à $0,4\mathrm{GHz}$ et $0,120\mathrm{s}$ à $1,4\mathrm{GHz}$, dans le rapport $(1,4/0,4{)}^2=12,25$ ; l'exposant $2$ est la signature d'un plasma. (Le terme suivant du développement modifierait cet écart de moins d'un milliardième de sa valeur.)

4b) La densité moyenne et la distance. $\mathrm{DM}=⟨n_e⟩L$, donc $⟨n_e⟩=\frac{56,8\mathrm{pc}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}}{2000\mathrm{pc}}\approx 0,028\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}=2,8\times 10^4{\mathrm{m}}^{-3}$, et $f_p\approx 8,98\sqrt{2,84\times 10^4}\approx 1,5\mathrm{kHz}$ : c'est l'ordre de grandeur admis à la question 2, que la mesure confirme. Environ un électron libre par trentaine de centimètres cubes : bien moins que le meilleur ultravide de laboratoire. À l'inverse, une fois établie une carte de $n_e$ dans la Galaxie (à partir des pulsars de distance connue), la mesure de $\mathrm{DM}$ d'un nouveau pulsar donne sa distance : c'est la méthode courante.

5) Dédisperser. En différentiant $t(f)$, $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}f}=-\frac{2K\mathrm{DM}}{f^3}$ ; un canal de largeur $\Delta f$ étale l'impulsion sur $$\Delta t=\frac{2K\mathrm{DM}\Delta f}{f^3}=2\times 4,15\mathrm{ms}\times 56,8\times \frac{10^{-3}}{0,4^3}\approx 7,4\mathrm{ms},$$ soit $22\%$ de la période : l'impulsion est nettement élargie, et la somme brute de toute la bande, où les arrivées s'étalent sur $1,35\mathrm{s}$, la noierait. On découpe donc la bande en canaux étroits (l'étalement varie comme $\Delta f/f^3$), on décale chaque canal de $K\mathrm{DM}/f^2$, puis l'on somme : c'est la dédispersion, qui aligne les impulsions et rend au signal sa finesse.

6a) L'erreur du GPS. Le même calcul, sur le trajet satellite-récepteur, donne un retard de l'enveloppe $\Delta t=\frac{e^2}{8{\pi }^2{\epsilon }_{0}mc}\cdot \frac{\mathrm{TEC}}{f^2}$ par rapport au vide ; multiplié par $c$, il fausse la distance de $$\Delta \rho =\frac{e^2}{8{\pi }^2{\epsilon }_{0}m}\cdot \frac{\mathrm{TEC}}{f^2}\approx 40,3\frac{\mathrm{TEC}}{f^2},$$ soit, sur L1, $\Delta \rho =\frac{40,3\times 5\times 10^{17}}{(1,57542\times 10^9{)}^2}\approx 8,1\mathrm{m}$, et sur L2, $\Delta \rho \approx 13,4\mathrm{m}$. C'est la plus grosse erreur d'un GPS à une seule fréquence.

6b) La correction bifréquence. Les pseudo-distances valent ${\rho }_i=\rho +\frac{A}{f_i^2}$, avec $A=40,3\mathrm{TEC}$ inconnu, mais le même pour les deux fréquences. Alors $f_1^2{\rho }_1-f_2^2{\rho }_2=(f_1^2-f_2^2)\rho +A-A$, et $$\frac{f_1^2{\rho }_1-f_2^2{\rho }_2}{f_1^2-f_2^2}=\rho :$$ la distance vraie, sans connaître le TEC. Deux fréquences suffisent parce que l'on connaît la forme de la loi, en $1/f^2$, comme pour le pulsar, dont on élimine ainsi le terme $L/c$ inconnu ; la différence ${\rho }_2-{\rho }_1$ donne au passage le TEC.

6c) La phase avance. La phase va à $v_{\phi }=c^2/v_g$, donc $\frac{1}{v_{\phi }}=\frac{v_g}{c^2}\approx \frac{1}{c}(1-\frac{f_p^2}{2f^2})$ : la distance mesurée sur la phase de la porteuse est raccourcie de la même quantité, $8,1\mathrm{m}$ sur L1, dont celle mesurée sur l'enveloppe est allongée. Les récepteurs voient le code et la phase diverger en sens opposés quand le TEC varie : c'est la différence entre $v_{\phi }$ et $v_g$, mesurée chaque jour.

Le résultat obtenu — la mesure de dispersion des pulsars : le retard de groupe en $1/f^2$. Dans un plasma dilué de fréquence plasma très inférieure à la fréquence $f$ du signal, une impulsion, qui avance à la vitesse de groupe $v_g=c\sqrt{1-f_p^2/f^2}$, arrive avec un retard sur la propagation dans le vide égal à $K\mathrm{DM}/f^2$, où $K=e^2/8{\pi }^2{\epsilon }_{0}mc$ et $\mathrm{DM}=\int n_e\mathrm{d}l$ est la colonne d'électrons traversée ; la mesure des différences d'arrivée entre fréquences donne $\mathrm{DM}$, donc la densité électronique moyenne ou la distance de la source. Pour le Crabe, $1,35\mathrm{s}$ entre $400\mathrm{MHz}$ et $1,4\mathrm{GHz}$, et $⟨n_e⟩\approx 0,03\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ ; pour le GPS, $8\mathrm{m}$ sur L1, que la combinaison bifréquence élimine. Ce retard a été mesuré dès la découverte des pulsars (Hewish et ses collaborateurs, 1968).

Ce que le problème installe. Le calcul de la vitesse de groupe à partir de la relation de dispersion, puis son emploi comme vitesse d'une impulsion, intégré le long d'un trajet localement homogène ; un développement limité justifié par un ordre de grandeur ($f_p/f\sim 10^{-5}$) ; et la lecture d'une loi en $1/f^2$ comme une mesure : la colonne d'électrons, la densité d'un milieu inaccessible, la distance d'une étoile, la correction d'un GPS.