Propagation dans un câble coaxial — exercice corrigé de physique des ondes 2 (PC) (chapitre 2)

Propagation dans un câble coaxial

Propagation linéaire unidimensionnelle : dispersion et absorption · niveau 2

Énoncé

Un câble coaxial a pour inductance et capacité linéiques $Λ = 250 n H . m^{- 1}$ et $C = 100 pF . m^{- 1}$ ; à $10 M H z$ , la résistance linéique de ses conducteurs vaut $R = 0.37 Ω. m^{- 1}$ (elle vient de l'effet de peau) et l'on néglige la conductance de fuite de l'isolant ( $G = 0$ ).

Sans pertes, calculer la célérité $c$ des signaux et l'impédance caractéristique $Z_{c}$ .
Avec pertes, vérifier que l'approximation des pertes faibles est justifiée à $10 M H z$ . Calculer $k^{''}$ , la distance sur laquelle l'amplitude est divisée par $e$ , et l'atténuation de la puissance sur $100 m$ , en décibels.
Montrer que si $R /Λ = G / C$ (condition de Heaviside), le câble est absorbant mais n'est plus dispersif, à toute fréquence. Quelle conductance faudrait-il ?

Corrigé

1. $c = 1/ Λ C = 1/ 2, 5 \times 1 0^{- 17} = 2.0 \times 1 0^{8} m . s^{- 1}$ et $Z_{c} = Λ/ C = 2500 = 50 Ω$ .

2. $Λ ω = 250 \times 1 0^{- 9} \times 2 π \times 1 0^{7} = 15.7 Ω. m^{- 1}$ : $R / (Λ ω) = 0, 024 ≪ 1$ . Le développement du cours donne $k^{''} = \frac{R}{2 Z _{c}} = \frac{0 , 37}{100} = 3.7 \times 1 0^{- 3} m^{- 1}$ : l'amplitude est divisée par $e$ sur $1/ k^{''} = 270 m$ . Sur $100 m$ , l'amplitude est multipliée par $e^{- 0, 37} = 0, 69$ et la puissance par $e^{- 0, 74} = 0, 48$ , soit une atténuation de $20 lo g_{10} (e) \times 0, 37 = 3.2 d B$ . La partie réelle reste $k^{'} \approx ω / c$ : le calcul exact, $k = - (R + j Λ ω) j C ω$ , donne $k^{'} = 0.31418 m^{- 1}$ contre $ω / c = 0.31416 m^{- 1}$ .

3. Si $R /Λ = G / C = a$ , on écrit $(R + j Λ ω) (G + j C ω) = Λ C (a + j ω)^{2}$ , d'où $k^{2} = - Λ C (a + j ω)^{2}$ et, en gardant l'onde amortie vers les $x > 0$ ,

$k = Λ C (ω - j a) = \frac{ω}{c} - j \frac{R}{Z _{c}} .$

La partie réelle est exactement proportionnelle à $ω$ : toutes les composantes avancent à $c$ et s'atténuent de la même façon, une impulsion garde sa forme en s'affaiblissant. Il faudrait $G = R C /Λ = 1.5 \times 1 0^{- 4} S . m^{- 1}$ ; on réalise plutôt la condition en augmentant $Λ$ (câbles téléphoniques « pupinisés »).