Un électron dans l'onde : conductivité complexe, approximations justifiées, énergie cinétique

La stratégie. Le principe fondamental de la dynamique, en notation complexe, donne la vitesse d'un électron, donc le courant ; on chiffre ensuite chaque terme négligé au lieu de l'affirmer ; le théorème de l'énergie cinétique dit enfin où va la puissance cédée aux électrons.

1) La conductivité complexe. Seule la force électrique agit : $m\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=-e\overrightarrow{E}$. En régime sinusoïdal forcé, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\to \mathrm{j}\omega$ : $$m\mathrm{j}\omega \underline{\overrightarrow{v}}=-e\underline{\overrightarrow{E}}⟹\underline{\overrightarrow{v}}=\frac{-e}{\mathrm{j}m\omega }\underline{\overrightarrow{E}}=\mathrm{j}\frac{e}{m\omega }\underline{\overrightarrow{E}}.$$ Les $n$ électrons par unité de volume portent la densité de courant $\underline{\overrightarrow{ȷ}}=-ne\underline{\overrightarrow{v}}$ (les ions immobiles n'en portent pas) : $$\underline{\overrightarrow{ȷ}}=\frac{n{e}^2}{\mathrm{j}m\omega }\underline{\overrightarrow{E}}=\underline{\gamma }\underline{\overrightarrow{E}},\underline{\gamma }=-\mathrm{j}\frac{n{e}^2}{m\omega }.$$ La conductivité est imaginaire pure : le courant est en quadrature retard sur le champ, par l'inertie de l'électron, dont l'accélération (et non la vitesse) suit le champ.

2) Les approximations, chiffrées. Avec $\omega =2\pi f=6,28\times 10^7\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $$v_0=\frac{e{E}_0}{m\omega }=\frac{1,602\times 10^{-19}\times 1}{9,109\times 10^{-31}\times 6,28\times 10^7}\approx 2,8\times 10^3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},x_0=\frac{v_0}{\omega }\approx 45\mu \mathrm{m}.$$ a) Le champ magnétique de l'onde vaut au plus $E_0/c$ (dans le plasma, $B=kE/\omega =E/v_{\phi }<E/c$). Le rapport des forces magnétique et électrique est donc au plus $\frac{e{v}_{0}B}{e{E}_0}\le \frac{v_0}{c}\approx 9\times 10^{-6}$ : la force magnétique est négligeable. b) La longueur d'onde vaut $\lambda \approx c/f=30\mathrm{m}$ (à peine plus dans le plasma) : l'élongation $x_0=45\mu \mathrm{m}$ est $10^{-6}$ fois plus petite. De plus, l'électron oscille selon ${\overrightarrow{e}}_x$, perpendiculairement à $\overrightarrow{k}$ : il voit le champ en un point fixe. c) Les ions subissent la même force, mais avec une masse plus grande : leur vitesse, donc leur courant, est dans le rapport $\frac{m}{m_{{\mathrm{O}}^{+}}}=\frac{9,11\times 10^{-31}}{2,66\times 10^{-26}}\approx 3,4\times 10^{-5}$. d) Un électron subit une collision toutes les millisecondes environ, pendant qu'il effectue $f/\nu =10^4$ oscillations : sur une période, la force de frottement associée, d'ordre $m\nu v$, est dans le rapport $\nu /\omega \approx 1,6\times 10^{-5}$ avec le terme d'inertie $m\omega v$. Les quatre approximations sont justifiées à $10^{-4}$ près ou mieux ; c'est ce que veut dire « plasma dilué ».

3) Une puissance moyenne nulle. En réels, $\overrightarrow{E}=E_0\cos \omega t{\overrightarrow{e}}_x$ en $z=0$ ; la vitesse, en quadrature retard sur $-\overrightarrow{E}$, vaut $\overrightarrow{v}=-v_0\sin \omega t{\overrightarrow{e}}_x$, donc $\overrightarrow{ȷ}=-ne\overrightarrow{v}=\frac{n{e}^2{E}_0}{m\omega }\sin \omega t{\overrightarrow{e}}_x$. La puissance volumique instantanée cédée aux électrons vaut $$p(t)=\overrightarrow{ȷ}\cdot \overrightarrow{E}=\frac{n{e}^2{E}_0^2}{m\omega }\sin \omega t\cos \omega t=\frac{n{e}^2{E}_0^2}{2m\omega }\sin 2\omega t,$$ de moyenne nulle ; en complexes, $⟨\overrightarrow{ȷ}\cdot \overrightarrow{E}⟩=\frac{1}{2}\mathrm{Re}(\underline{\gamma })E_0^2=0$. L'énergie fait des allers et retours entre le champ et les électrons, au rythme $2\omega$ : pendant un quart de période le champ accélère les électrons, pendant le suivant ils lui rendent leur énergie. Rien n'est dissipé : sans collisions, il n'y a pas d'effet Joule.

4) L'énergie cinétique. Par le théorème de l'énergie cinétique, $p(t)=\frac{\mathrm{d}{u}_{\mathrm{cin}}}{\mathrm{d}t}$ : la puissance cédée sert entièrement à faire varier l'énergie cinétique des électrons, qui vaut $$u_{\mathrm{cin}}=n\frac{m{v}^2}{2}=\frac{nm{v}_0^2}{2}{\sin }^2\omega t,⟨u_{\mathrm{cin}}⟩=\frac{nm{v}_0^2}{4}=\frac{n{e}^2{E}_0^2}{4m{\omega }^2}=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{4}\cdot \frac{n{e}^2}{m{\epsilon }_0{\omega }^2}.$$ D'où le rapport, simple et parlant : $$\frac{⟨u_{\mathrm{cin}}⟩}{⟨u_E⟩}=\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}=(\frac{9}{10}{)}^2=0,81.$$ À $10\mathrm{MHz}$, juste au-dessus de la coupure, les électrons stockent presque autant d'énergie que le champ électrique. Quand $\omega \to {\omega }_p$, le rapport tend vers $1$ ; à haute fréquence, il tend vers $0$ : les électrons, trop lourds pour suivre, ne prennent plus rien, et l'onde est celle du vide. Homogénéité : $n{e}^2/m{\epsilon }_0$ est le carré d'une pulsation, le rapport est sans dimension. On se sert de ce résultat à l'exercice 4.

Ce que l'exercice installe. La conductivité complexe du plasma, $\underline{\gamma }=-\mathrm{j}n{e}^2/m\omega$, établie par le principe fondamental de la dynamique, et le réflexe de chiffrer chaque approximation (force magnétique en $v/c$, uniformité en $x_0/\lambda$, ions en $m/m_{\mathrm{ion}}$, collisions en $\nu /\omega$). Une conductivité imaginaire pure signifie un échange réversible d'énergie, sans dissipation, et l'énergie stockée par les électrons est dans le rapport ${\omega }_p^2/{\omega }^2$ avec l'énergie électrique.