Une formule, deux mondes : l'ionosphère et la transparence ultraviolette des métaux alcalins

La stratégie. Une formule, $f_p\approx 8,98\sqrt{n}$, et un critère, $f$ comparée à $f_p$, appliqués à l'ionosphère, où $n$ varie avec l'altitude, puis aux métaux, seize ordres de grandeur plus denses, où la coupure passe de la radio à l'ultraviolet.

1) La fréquence critique. Une impulsion de fréquence $f$ monte tant que la densité locale donne $f_p(h)<f$ ; elle est renvoyée vers le sol à l'altitude où $f_p(h)=f$. Si $f$ dépasse la plus grande fréquence plasma de la couche, $f_{p,\max }=8,98\sqrt{n_{\max }}$, cette altitude n'existe pas : l'onde traverse toute la couche, et l'écho disparaît. La fréquence de disparition mesure donc la densité maximale, $n_{\max }=(f_c/8,98{)}^2$. Le jour, $$n_{\max }=(\frac{9,0\times 10^6}{8,98}{)}^2\approx 1,0\times 10^{12}{\mathrm{m}}^{-3};$$ la nuit, $n_{\max }=(2,8\times 10^6/8,98{)}^2\approx 1\times 10^{11}{\mathrm{m}}^{-3}$. La nuit, sans rayonnement ultraviolet solaire, les électrons se recombinent avec les ions : la densité chute d'un facteur dix. À incidence verticale : les grandes ondes ($0,2\mathrm{MHz}$) sont toujours renvoyées ; les ondes courtes de $7\mathrm{MHz}$ le sont le jour ($7<9,0$) et traversent la nuit ($7>2,8$) ; la FM et le GPS traversent toujours, ce qui permet les liaisons avec les satellites. (Les liaisons à grande distance utilisent l'incidence oblique, qui renvoie des fréquences plus élevées ; on ne l'étudie pas ici.)

2) Une couche inhomogène. À $5\mathrm{MHz}$, la longueur d'onde vaut $c/f=60\mathrm{m}$, alors que $n$ varie sur $200\mathrm{km}$ : sur quelques longueurs d'onde, la densité est pratiquement constante, et l'on applique en chaque altitude la relation de dispersion du plasma homogène avec la densité locale. L'onde est renvoyée là où $f_p(h)=f$, c'est-à-dire où $$n(h)=(\frac{5,0\times 10^6}{8,98}{)}^2=3,1\times 10^{11}{\mathrm{m}}^{-3}.$$ Le profil linéaire donne $n(h)=n_{\max }\frac{h-100\mathrm{km}}{200\mathrm{km}}$, d'où $$h_r=100+200\times \frac{3,1\times 10^{11}}{1,0\times 10^{12}}\approx 162\mathrm{km}.$$ Au-dessus de $h_r$, $f<f_p(h)$ : l'onde y est évanescente et ne pénètre que sur quelques mètres (à $f_p=9\mathrm{MHz}$ et $f=5\mathrm{MHz}$, $\delta =c/2\pi \sqrt{f_p^2-f^2}\approx 6,4\mathrm{m}$) avant d'être renvoyée. L'onde de $12\mathrm{MHz}$ dépasse partout $f_p(h)\le 9,0\mathrm{MHz}$ : elle traverse la couche.

3) Les métaux, plasmas denses. Pour le sodium, $n=\frac{\rho N_A}{M}=\frac{968\times 6,022\times 10^{23}}{23,0\times 10^{-3}}\approx 2,54\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$, d'où $$f_p\approx 8,98\sqrt{2,54\times 10^{28}}\approx 1,43\times 10^{15}\mathrm{Hz},{\lambda }_p=\frac{c}{f_p}\approx 210\mathrm{nm}.$$ Le visible ($400$ à $800\mathrm{nm}$) a $\lambda >{\lambda }_p$, donc $f<f_p$ : l'onde est évanescente dans le métal et totalement réfléchie. En dessous de $210\mathrm{nm}$, $f>f_p$ et le métal devient un milieu transparent. C'est exactement l'observation de Wood, que Zener a interprétée la même année par ce modèle : c'est l'un de ses grands succès. Pour l'aluminium, $n=3\times \frac{2700\times 6,022\times 10^{23}}{27,0\times 10^{-3}}\approx 1,81\times 10^{29}{\mathrm{m}}^{-3}$, d'où $f_p\approx 3,8\times 10^{15}\mathrm{Hz}$ et ${\lambda }_p\approx 79\mathrm{nm}$. Pour tous les métaux, ${\lambda }_p$ est dans l'ultraviolet : tout le visible est réfléchi, d'où l'éclat métallique. C'est le phénomène de la réflexion des ondes courtes par l'ionosphère, avec une densité $10^{16}$ fois plus grande, donc une coupure $10^8$ fois plus haute.

4) La limite du modèle : le cuivre. Avec ${\lambda }_p\approx 115\mathrm{nm}$, le modèle prédit que le cuivre réfléchit tout le visible également, comme l'argent : il serait blanc et brillant. Or il est rougeâtre : il absorbe une partie du bleu et du vert. Le modèle explique l'éclat, pas la couleur. Il ne connaît que les électrons libres ; dans le cuivre, des électrons liés (couches $3d$) absorbent les photons de plus de $2\mathrm{eV}$ environ (longueurs d'onde inférieures à $600\mathrm{nm}$ environ). Cette absorption, propre à chaque métal, est hors du modèle ; c'est pourquoi le sodium et l'aluminium illustrent mieux la transparence ultraviolette.

Ce que l'exercice installe. La fréquence de coupure $f_p\approx 8,98\sqrt{n}$ relie une mesure radio ou optique à une densité d'électrons : $f_p$ de quelques mégahertz pour l'ionosphère ($10^{11}$ à $10^{12}{\mathrm{m}}^{-3}$), dans l'ultraviolet pour les métaux ($10^{28}$ à $10^{29}{\mathrm{m}}^{-3}$). Une couche lentement variable se traite localement : l'onde est renvoyée là où $f_p(h)=f$. Et un modèle se juge à ce qu'il explique (l'éclat, la transparence des alcalins) et à ce qu'il manque (la couleur du cuivre).