Indice complexe de l'eau de mer — exercice corrigé de physique des ondes 2 (PC) (chapitre 3)

Indice complexe de l'eau de mer

Interfaces entre deux milieux · niveau 2

Énoncé

À la fréquence $f = 1.0 G H z$ , l'eau de mer a un indice complexe $n \approx 9, 2 - 3, 9 j$ , calculé à partir de sa permittivité relative $ε^{'} \approx 70$ et de sa conductivité $σ \approx 4 S . m^{- 1}$ (avec la convention $e^{j (ω t - k x)}$ , $k = n ω / c$ ). Une onde plane arrive de l'air, sous incidence normale, sur la surface de la mer.

Calculer le coefficient de réflexion en champ électrique et la fraction réfléchie de la puissance.
Sur quelle distance l'amplitude de l'onde transmise est-elle divisée par $e$ ? Que devient la puissance transmise ?
Peut-on communiquer par radio avec un sous-marin en plongée à cette fréquence ?

Corrigé

1) $r = \frac{1 - n}{1 + n} = \frac{- 8 , 2 + 3 , 9 j}{10 , 2 - 3 , 9 j}$ . En modules, $∣ r ∣^{2} = \frac{8 , 2 ^{2} + 3 , 9 ^{2}}{10 , 2 ^{2} + 3 , 9 ^{2}} = \frac{82 , 5}{119 , 2} \approx 0, 69$ : $R \approx 69 %$ de la puissance est réfléchie ; $r \approx - 0, 83 + 0, 07 j$ est presque réel et négatif, comme pour un indice réel élevé.

2) Dans la mer, $e^{- j k x} = e^{- j n^{'} ω x / c} e^{- n^{''} ω x / c}$ : l'amplitude décroît en $e^{- x / δ}$ avec

$δ = \frac{c}{n ^{''} ω} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{8}}{3 , 9 \times 2 π \times 1 , 0 \times 1 0 ^{9}} \approx 1.2 c m .$

La puissance, en carré de l'amplitude, décroît sur $δ /2 \approx 6 mm$ . Les $31 %$ transmis sont absorbés (convertis en chaleur) dans le premier centimètre d'eau : la formule $T = \frac{4 n _{1} n _{2}}{( n _{1} + n _{2} ) ^{2}}$ , valable pour des milieux transparents, ne s'applique pas ici.

3) Non : après un mètre, l'amplitude est divisée par $e^{100/1, 2} \approx e^{83}$ . Les ondes radio du gigahertz ne pénètrent pas dans la mer, et les radars ne voient pas sous sa surface. Pour joindre un sous-marin en plongée, on utilise des ondes de très basse fréquence, pour lesquelles la distance d'atténuation est bien plus grande.