physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 3 · Application directe du cours

La couche demi-onde, invisible à une seule longueur d'onde

Interfaces entre deux milieux · niveau 2

Énoncé

Un verre d'indice $n_{s} = 1, 52$ reçoit une couche dure de dioxyde de titane, d'indice $n_{1} = 2, 40$ et d'épaisseur $e$ , qui le protège des rayures. La lumière arrive de l'air ( $n_{0} = 1$ ) en incidence normale ; $λ$ désigne sa longueur d'onde dans le vide. On admet que le coefficient de réflexion en champ électrique de l'ensemble vaut

$r (λ) = \frac{r _{01} + r _{12} e ^{- 2 j δ}}{1 + r _{01} r _{12} e ^{- 2 j δ}}, δ = \frac{2 π n _{1} e}{λ},$

où $r_{01} = \frac{n _{0} - n _{1}}{n _{0} + n _{1}}$ et $r_{12} = \frac{n _{1} - n _{s}}{n _{1} + n _{s}}$ sont les coefficients des deux interfaces prises isolément.

Que représente $2 δ$ ? Calculer $r_{01}$ , $r_{12}$ et la fraction de la puissance réfléchie par le verre nu.
On choisit $e = \frac{λ _{0}}{2 n _{1}}$ , avec $λ_{0} = 550 nm$ . Montrer qu'à $λ_{0}$ la réflexion est exactement celle du verre nu, quel que soit $n_{1}$ . Calculer $e$ .
Les coefficients $r_{01}$ et $r_{12}$ étant réels, établir $R (λ) = ∣ r ∣^{2}$ et ses valeurs extrêmes. Calculer $R$ à $400 nm$ , $550 nm$ et $700 nm$ . De quelle couleur sont les reflets du verre protégé ?

Corrigé

1) $2 δ = 2 k_{1} e$ , avec $k_{1} = 2 π n_{1} / λ$ , est le retard de phase accumulé par l'onde réfléchie sur la face arrière, au cours de son aller-retour dans la couche. $r_{01} = \frac{1 - 2 , 40}{3 , 40} \approx - 0, 412$ , $r_{12} = \frac{2 , 40 - 1 , 52}{3 , 92} \approx + 0, 224$ ; verre nu : $R_{0} = (\frac{1 - 1 , 52}{2 , 52})^{2} \approx 4, 26 %$ .

2) Pour $e = λ_{0} / (2 n_{1})$ , $δ = π$ à $λ_{0}$ et $e^{- 2 j δ} = 1$ : $r = \frac{r _{01} + r _{12}}{1 + r _{01} r _{12}}$ . En réduisant au dénominateur commun $D = (n_{0} + n_{1}) (n_{1} + n_{s})$ ,

$r_{01} + r_{12} = \frac{( n _{0} - n _{1} ) ( n _{1} + n _{s} ) + ( n _{1} - n _{s} ) ( n _{0} + n _{1} )}{D} = \frac{2 n _{1} ( n _{0} - n _{s} )}{D},$

$1 + r_{01} r_{12} = \frac{( n _{0} + n _{1} ) ( n _{1} + n _{s} ) + ( n _{0} - n _{1} ) ( n _{1} - n _{s} )}{D} = \frac{2 n _{1} ( n _{0} + n _{s} )}{D},$

d'où $r = \frac{n _{0} - n _{s}}{n _{0} + n _{s}}$ : c'est le coefficient de l'interface air-verre seule. Après un aller-retour d'une longueur d'onde entière, l'onde revient en phase, et la couche est sans effet : elle est absente à $λ_{0}$ , quel que soit son indice. Ici $e = \frac{550}{2 \times 2 , 40} \approx 115 nm$ .

3) Avec $z = e^{- 2 j δ}$ , $∣ z ∣ = 1$ et $z + z^{*} = 2 cos 2 δ$ :

$R (λ) = \frac{∣ r _{01} + r _{12} z ∣ ^{2}}{∣ 1 + r _{01} r _{12} z ∣ ^{2}} = \frac{r _{01}^{2} + r _{12}^{2} + 2 r _{01} r _{12} cos 2 δ}{1 + r _{01}^{2} r _{12}^{2} + 2 r _{01} r _{12} cos 2 δ} .$

Comme $r_{01} r_{12} < 0$ , $R$ est minimal pour $cos 2 δ = 1$ (couche demi-onde : $R = R_{0} = 4, 26 %$ ) et maximal pour $cos 2 δ = - 1$ (couche quart d'onde : $R = (\frac{∣ r _{01} ∣ + r _{12}}{1 + ∣ r _{01} ∣ r _{12}})^{2} \approx 33, 9 %$ ). À $550 nm$ , $R \approx 4, 3 %$ ; à $400 nm$ , $2 δ \approx 8.6 r a d$ et $R \approx 31 %$ ; à $700 nm$ , $2 δ \approx 4.9 r a d$ et $R \approx 18 %$ . La couche ne passe inaperçue qu'au milieu du spectre : elle renvoie beaucoup plus le violet et le rouge que le vert, et le verre protégé a des reflets pourpres. Une couche de haut indice n'est invisible qu'à une longueur d'onde ; c'est pourquoi on préfère, pour protéger une optique, des couches d'indice proche de celui du verre.

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