physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

La vitre, le double vitrage et le reflet du soir

Interfaces entre deux milieux · E. Ondes électromagnétiques en incidence normale · niveau 2

Énoncé

Une onde lumineuse plane progressive harmonique, polarisée rectilignement, arrive en incidence normale de l'air (indice $n_{1} = 1$ ) sur une vitre de verre ordinaire d'indice $n = 1, 52$ . Données. Dans un milieu transparent, non magnétique, d'indice $n$ , une onde plane progressive harmonique a la structure de l'onde dans le vide, avec $B = \frac{n u \land E}{c}$ , où $u$ est le vecteur unitaire de la direction de propagation ; à l'interface entre deux tels milieux, on admet la continuité des composantes tangentielles de $E$ et de $B$ . Le vecteur de Poynting s'écrit $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}}$ , avec $μ_{0} ε_{0} c^{2} = 1$ . On définit, à une interface entre un milieu d'incidence d'indice $n_{1}$ et un milieu d'indice $n_{2}$ , les coefficients en champ électrique $r = E_{r} / E_{i}$ et $t = E_{t} / E_{i}$ (en $x = 0$ , $E$ porté par $e_{y}$ ), et les coefficients en puissance $R$ et $T$ . Une vitre est épaisse devant la longueur sur laquelle la lumière ordinaire peut interférer avec elle-même : on ne tient compte d'aucune interférence entre les ondes réfléchies par ses deux faces, on ajoute leurs puissances. Le jour, la rue est cent fois plus lumineuse que l'intérieur de la pièce ; le soir, la pièce éclairée est trente fois plus lumineuse que la rue.

1) Établir $r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ et $t = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}}$ . Les calculer de l'air vers le verre, puis du verre vers l'air.

2) Établir que la puissance surfacique moyenne transportée par une onde plane progressive harmonique d'amplitude $E_{0}$ dans un milieu d'indice $n$ vaut $⟨ Π ⟩ = \frac{1}{2} n ε_{0} c E_{0}^{2}$ . En déduire $R$ et $T$ en fonction de $n_{1}$ et $n_{2}$ ; vérifier $R + T = 1$ . Pourquoi $T$ n'est-il pas égal à $t^{2}$ ? Du verre vers l'air, $t > 1$ : est-ce contradictoire ?

3) Calculer la fraction de la puissance réfléchie par une face, puis par une vitre (deux faces) et par un double vitrage (quatre faces), d'abord en ne comptant qu'une réflexion par face. En comptant toutes les réflexions multiples, sans interférences, on montre que $N$ faces identiques transmettent la fraction $\frac{1 - R}{1 + ( N - 1 ) R}$ : comparer.

4) Assis dans la pièce, on regarde la fenêtre : on y voit à la fois la rue, à travers la vitre, et le reflet de la pièce. On voit surtout son reflet quand la lumière de la pièce réfléchie par la vitre l'emporte sur la lumière de la rue transmise. Établir le seuil du rapport des luminosités de la pièce et de la rue, pour une vitre puis pour un double vitrage. Conclure pour le jour et le soir. Que voit un passant dans la rue, le soir ?

Corrigé

La stratégie. Comme pour le son : trois ondes en $x = 0$ , deux continuités (celles de $E$ et de $B$ , tous deux tangents à l'interface en incidence normale), deux équations. Pour la puissance, on calcule le vecteur de Poynting de chaque onde dans son milieu : il porte un facteur $n$ .

1) Les coefficients en champ. Avec $E$ selon $e_{y}$ et la propagation incidente selon $e_{x}$ , en $x = 0$ et en omettant le facteur $e^{j ω t}$ : $E_{i} = E_{0} e_{y}, B_{i} = \frac{n _{1} E _{0}}{c} e_{z};$ $E_{r} = r E_{0} e_{y}, B_{r} = \frac{n _{1}}{c} (- e_{x}) \land r E_{0} e_{y} = - \frac{n _{1} r E _{0}}{c} e_{z};$ $E_{t} = t E_{0} e_{y}, B_{t} = \frac{n _{2} t E _{0}}{c} e_{z} .$ Continuité de $E_{y}$ : $1 + r = t$ . Continuité de $B_{z}$ : $n_{1} (1 - r) = n_{2} t$ . D'où $r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}, t = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}} .$ Air vers verre : $r = \frac{1 - 1 , 52}{2 , 52} = - 0, 206$ , $t = 0, 794$ ; le champ réfléchi est en opposition de phase avec le champ incident (réflexion sur un milieu plus réfringent). Verre vers air : $r = + 0, 206$ , $t = \frac{2 \times 1 , 52}{2 , 52} = 1, 206$ . Ce sont les formules de la surpression avec $Z$ remplacé par $1/ n$ : le champ électrique est une grandeur d'effort, le champ magnétique une grandeur de flux.

2) Le vecteur de Poynting porte un facteur $n$ . Pour une onde progressive, $Π = \frac{E \land B}{μ _{0}} = \frac{n}{μ _{0} c} E \land (u \land E) = \frac{n E ^{2}}{μ _{0} c} u,$ car $E ⊥ u$ ; avec $⟨ cos^{2} ⟩ = \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{μ _{0} c} = ε_{0} c$ , $⟨ Π ⟩ = \frac{n E _{0}^{2}}{2 μ _{0} c} = \frac{1}{2} n ε_{0} c E_{0}^{2} .$ L'onde réfléchie est dans le milieu 1 comme l'onde incidente ; l'onde transmise est dans le milieu 2 : $R = r^{2} = (\frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}})^{2}, T = \frac{n _{2}}{n _{1}} t^{2} = \frac{4 n _{1} n _{2}}{( n _{1} + n _{2} ) ^{2}},$ $R + T = \frac{( n _{1} - n _{2} ) ^{2} + 4 n _{1} n _{2}}{( n _{1} + n _{2} ) ^{2}} = 1.$ Numériquement, $R = 0, 0426$ et $T = 1, 52 \times 0, 79 4^{2} = 0, 9574$ . $T \neq = t^{2}$ parce qu'à champ électrique égal, une onde transporte une puissance proportionnelle à l'indice de son milieu : son champ magnétique est $n$ fois plus grand. Du verre vers l'air, $t = 1, 206 > 1$ , mais l'onde transmise est dans l'air, d'indice $1, 52$ fois plus petit : $T = \frac{1}{1 , 52} \times 1, 20 6^{2} = 0, 9574$ , le même qu'à l'aller. Aucune contradiction : c'est le paradoxe de la surpression doublée sous l'eau, transposé.

3) Une face, une vitre, un double vitrage. Une face réfléchit $R = 4, 26 %$ , dans un sens comme dans l'autre. Pour une vitre, en ne comptant qu'une réflexion par face, la lumière transmise a franchi deux faces, $T^{2} = 0, 9167$ ; la lumière réfléchie est celle de la face avant, $R$ , plus celle de la face arrière qui a franchi deux fois la face avant, $T^{2} R$ : $R + T^{2} R = 0, 0426 + 0, 0390 = 0, 0816.$ Il manque $0, 18 %$ : c'est la lumière qui fait plusieurs allers-retours dans le verre. La formule complète donne, pour $N = 2$ , une transmission $\frac{1 - R}{1 + R} = 0, 918$ et une réflexion $\frac{2 R}{1 + R} = 0, 0817$ : une vitre renvoie $8, 2 %$ de la lumière. Pour un double vitrage, $N = 4$ : au premier ordre $T^{4} = 0, 840$ , et avec toutes les réflexions $\frac{1 - R}{1 + 3 R} = 0, 849$ ; il réfléchit $15 %$ de la lumière, presque quatre fois une face. Les réflexions multiples ne changent le résultat que de un pour cent : la première approximation suffit pour les ordres de grandeur.

4) Le reflet du soir. L'œil reçoit de la fenêtre la lumière de la pièce réfléchie, proportionnelle à $R_{v} L_{p}$ , et celle de la rue transmise, proportionnelle à $T_{v} L_{r}$ , où $R_{v}$ et $T_{v}$ sont les coefficients de la vitre entière et $L_{p}$ , $L_{r}$ les luminosités. Le reflet l'emporte si $\frac{L _{p}}{L _{r}} > \frac{T _{v}}{R _{v}} = \frac{0 , 918}{0 , 0817} = 11.$ Le jour, $L_{p} / L_{r} = 1/100$ : le reflet vaut $\frac{0 , 0817}{0 , 918} \times \frac{1}{100} = 9 \times 1 0^{- 4}$ de la vue, invisible ; on voit dehors. Le soir, $L_{p} / L_{r} = 30$ : le reflet vaut $2, 7$ fois la vue ; on se voit. Avec un double vitrage, le seuil tombe à $\frac{0 , 849}{0 , 151} = 5, 6$ : le reflet apparaît plus tôt dans la soirée. Le passant, lui, voit la pièce éclairée par transmission ( $T_{v} L_{p}$ ) devant le reflet de la rue sombre ( $R_{v} L_{r}$ ), dans le rapport $0, 918 \times 30/0, 0817 = 340$ : il voit l'intérieur comme en plein jour. C'est le principe du miroir sans tain : quelques pour-cent de réflexion suffisent à faire un miroir quand l'autre côté est sombre.

Ce que l'exercice installe. Les coefficients du champ viennent de deux continuités, ceux de la puissance du vecteur de Poynting, qui porte un facteur $n$ : $R = r^{2}$ , $T = \frac{n _{2}}{n _{1}} t^{2}$ , $R + T = 1$ . Une face de verre renvoie $4 %$ , une vitre $8 %$ , un double vitrage $15 %$ . Ce qu'on voit dans une vitre dépend moins de $R$ que du rapport des luminosités des deux côtés.

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