Le câble d'antenne d'un immeuble et la réflectométrie

La stratégie. Le tronçon infinitésimal donne deux équations du premier ordre, qui se combinent en d'Alembert comme les deux équations de la corde. Ensuite, tout se joue en un point : tension continue, courants qui se partagent, relation $u=\pm Z_{c}i$ pour chaque onde.

1) Les équations du câble. Loi des mailles dans le tronçon : $u(x,t)=\Lambda \mathrm{d}x\frac{\partial i}{\partial t}+u(x+\mathrm{d}x,t)$, soit $$\frac{\partial u}{\partial x}=-\Lambda \frac{\partial i}{\partial t}.$$ Loi des nœuds au nœud qui suit l'inductance : $i(x,t)=C\mathrm{d}x\frac{\partial u}{\partial t}+i(x+\mathrm{d}x,t)$ (au premier ordre en $\mathrm{d}x$), soit $$\frac{\partial i}{\partial x}=-C\frac{\partial u}{\partial t}.$$ On dérive la première par rapport à $x$, la seconde par rapport à $t$, et l'on élimine $\frac{{\partial }^{2}i}{\partial x\partial t}$ : $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=-\Lambda \frac{{\partial }^{2}i}{\partial x\partial t}=\Lambda C\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2},$$ équation de d'Alembert de célérité $$c_{\ell }=\frac{1}{\sqrt{\Lambda C}}=\frac{1}{\sqrt{375\times 10^{-9}\times 67\times 10^{-12}}}=1,995\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Le facteur de vélocité vaut $c_{\ell }/c=0,665$ : c'est la valeur des câbles à diélectrique de polyéthylène plein. Pour une onde progressive $u=F(t-x/c_{\ell })$, la première équation donne $\frac{\partial i}{\partial t}=-\frac{1}{\Lambda }\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{F^{\prime }}{\Lambda c_{\ell }}$, d'où $i=\frac{F}{\Lambda c_{\ell }}$ (sans composante constante, l'onde étant une perturbation) et $$u=Z_{c}i,Z_c=\Lambda c_{\ell }=\sqrt{\frac{\Lambda }{C}}=\sqrt{\frac{375\times 10^{-9}}{67\times 10^{-12}}}=74,8\Omega ,$$ le $75\Omega$ des câbles de télévision. Pour une onde $u=G(t+x/c_{\ell })$, le même calcul donne $i=-G/(\Lambda c_{\ell })$ : $u=-Z_{c}i$, le courant de l'onde régressive circule vers les $x$ décroissants.

2) Réflexion sur une charge. À l'extrémité, $\underline{u}={\underline{U}}^{+}+{\underline{U}}^{-}$ et $\underline{i}=\frac{{\underline{U}}^{+}-{\underline{U}}^{-}}{Z_c}$ ; la résistance impose $\underline{u}=R\underline{i}$ : $${\underline{U}}^{+}+{\underline{U}}^{-}=\frac{R}{Z_c}\left({\underline{U}}^{+}-{\underline{U}}^{-}\right)⟹r=\frac{U^{-}}{U^{+}}=\frac{R-Z_c}{R+Z_c}.$$ Circuit ouvert ($R\to \infty$) : $r=+1$, écho de même signe, courant nul et tension double au bout. Court-circuit ($R=0$) : $r=-1$, écho inversé, tension nulle au bout. Charge adaptée ($R=Z_c$) : $r=0$, pas d'écho. La tension est une grandeur d'effort : $r$ a la forme de $r_p$ ; le coefficient en intensité vaut $-r$.

3a) Le défaut. L'écho a fait l'aller et le retour : $$d=\frac{c_{\ell }t}{2}=\frac{1,995\times 10^8\times 0,60\times 10^{-6}}{2}=59,9\mathrm{m}.$$ En ce point, l'onde incidente voit $R_f$ en parallèle avec la suite du câble, qui, pour une onde qui s'en va (aucune onde n'en revient encore), se comporte comme une résistance $Z_c$ : l'impédance vue vaut $R_{\text{eˊq}}=\frac{R_f{Z}_c}{R_f+Z_c}<Z_c$, d'où un écho inversé. De $r=\frac{R_{\text{eˊq}}-Z_c}{R_{\text{eˊq}}+Z_c}=-0,30$ : $$R_{\text{eˊq}}=Z_c\frac{1+r}{1-r}=74,8\times \frac{0,70}{1,30}=40,3\Omega ,\frac{1}{R_f}=\frac{1}{R_{\text{eˊq}}}-\frac{1}{Z_c}⟹R_f=87\Omega .$$ Une fuite de $87\Omega$ entre l'âme et la gaine : l'eau a pénétré le diélectrique. La tension au défaut vaut $(1+r)U^{+}=0,70U^{+}$ ; le défaut reçoit $\frac{(0,70U^{+}{)}^2}{R_f}$, à comparer à la puissance incidente $\frac{(U^{+}{)}^2}{Z_c}$ : $$\frac{P_f}{P_i}=0,49\times \frac{74,8}{87}=0,42.$$ Bilan : $9\%$ réfléchis ($r^2$), $49\%$ transmis (tension $0,70$ dans le même câble), $42\%$ dissipés dans la fuite. Le câble humide mange près de la moitié du signal.

3b) Le bout de la colonne. La tension est la même juste avant et juste après le défaut (les éléments sont en parallèle) : l'onde transmise a la tension $(1+r)U^{+}=0,70U^{+}$. Au retour, l'onde voit encore $R_f$ en parallèle avec un câble qui s'en va vers le réflectomètre adapté : même impédance, même $r=-0,30$, même transmission $0,70$. L'écho du bout revient donc avec l'amplitude $0,70\times r_{\text{bout}}\times 0,70=0,49r_{\text{bout}}$ : l'écho $+0,49$ donne $r_{\text{bout}}=+1$, la colonne est ouverte (une prise débranchée, un câble coupé), à la distance $$\ell =\frac{c_{\ell }\times 1,25\times 10^{-6}}{2}=124,7\mathrm{m}.$$ L'écho du bout, en repassant par le défaut, s'y réfléchit en partie (coefficient $-0,30$), repart vers le bout, s'y réfléchit et revient : un écho secondaire d'amplitude $0,70\times 1\times (-0,30)\times 1\times 0,70=-0,15$, retardé de l'aller et retour entre le défaut et le bout, $\frac{2\times (124,7-59,9)}{c_{\ell }}=0,65\mu \mathrm{s}$, soit à $1,90\mu \mathrm{s}$. Il ne signale aucun nouveau défaut.

3c) Résolution. L'impulsion occupe dans le câble la longueur $c_{\ell }\tau =1,995\times 10^8\times 5\times 10^{-9}=1,0\mathrm{m}$. Deux défauts distants de $\Delta d$ donnent des échos décalés de $2\Delta d/c_{\ell }$, séparés si ce décalage dépasse $\tau$ : $\Delta d>c_{\ell }\tau /2=0,50\mathrm{m}$. Le technicien sait où ouvrir la gaine du câble à un demi-mètre près.

4) Le « T » de l'électricien. Chaque câble ajouté, terminé par une charge adaptée, ne renvoie rien : il présente à l'onde qui y entre l'impédance $Z_c$. Le raccord voit donc deux résistances de $Z_c$ en parallèle, $Z_c/2=37,4\Omega$ : $$r=\frac{Z_c/2-Z_c}{Z_c/2+Z_c}=-\frac{1}{3}=-0,33,r^2=0,11.$$ $11\%$ de la puissance repartent vers l'amplificateur d'antenne, où ils peuvent se réfléchir de nouveau et revenir en écho retardé (des « images fantômes » en télévision analogique, des erreurs de décodage en numérique) ; les $89\%$ restants se partagent : $44,5\%$ par branche, soit $10{\log }_{10}0,445=-3,5\mathrm{dB}$. Un répartiteur du commerce contient un transformateur qui fait voir à l'onde incidente une impédance de $75\Omega$ : plus d'écho, et chaque branche reçoit la moitié de la puissance, $-3\mathrm{dB}$, le partage inévitable.

Ce que l'exercice installe. La cellule $\Lambda \mathrm{d}x$, $C\mathrm{d}x$ donne d'Alembert comme la corde, avec $c_{\ell }=1/\sqrt{\Lambda C}$ et $Z_c=\sqrt{\Lambda /C}$. Le signe d'un écho dit la nature de ce que l'onde rencontre (plus ou moins d'impédance que $Z_c$), son amplitude la valeur, son retard la position, $d=c_{\ell }t/2$. Tout raccord qui change l'impédance vue par l'onde réfléchit, et une charge vue « à travers » un câble adapté vaut $Z_c$.