physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 3 · Application directe du cours

Le sonar et la coque d'acier

Interfaces entre deux milieux · niveau 1 (application)

Énoncé

L'onde d'un sonar se propage dans l'eau ( $ρ = 998 k g . m^{- 3}$ , $c = 1482 m . s^{- 1}$ ) et atteint en incidence normale la paroi plane d'une coque en acier ( $ρ = 7850 k g . m^{- 3}$ ; ondes longitudinales à $c = 5900 m . s^{- 1}$ ). En incidence normale, seules des ondes longitudinales sont excitées : on traite l'acier comme un fluide d'impédance $Z = ρ c$ , et l'on considère une interface unique (acier épais devant la longueur d'onde).

Calculer les impédances, les coefficients en surpression $r_{p}$ , $t_{p}$ , en vitesse $r_{v}$ , $t_{v}$ , et les coefficients en puissance $R$ et $T$ .
Que valent la surpression et la vitesse de l'eau sur la paroi, comparées à celles de l'onde incidente ? À quelle paroi idéale l'acier ressemble-t-il, vu de l'eau ?
L'acier est trente fois plus impédant que l'eau, l'eau trois mille six cents fois plus que l'air. Comparer les transmissions eau $\to$ acier et air $\to$ eau, et conclure sur la détection d'une coque au sonar.

Corrigé

1) $Z_{1} = 998 \times 1482 \approx 1.48 \times 1 0^{6} k g . m^{- 2} . s^{- 1}$ (eau) et $Z_{2} = 7850 \times 5900 \approx 4.63 \times 1 0^{7} k g . m^{- 2} . s^{- 1}$ (acier), de rapport $x = Z_{2} / Z_{1} \approx 31, 3$ . Alors

$r_{p} = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}} \approx + 0, 938, t_{p} = 1 + r_{p} \approx 1, 938, r_{v} = - r_{p} \approx - 0, 938, t_{v} = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}} \approx 0, 062,$

$R = r_{p}^{2} \approx 0, 880, T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} \approx 0, 120, R + T = 1.$

2) Sur la paroi, la surpression vaut $(1 + r_{p}) p_{i} \approx 1, 94 p_{i}$ et la vitesse $(1 + r_{v}) v_{i} \approx 0, 06 v_{i}$ : l'onde réfléchie, presque aussi forte que l'onde incidente et de surpression de même signe, forme avec elle un quasi-ventre de surpression et un quasi-nœud de vitesse. Vue de l'eau, la coque se comporte presque comme une paroi rigide ( $r_{p} = + 1$ ), à l'opposé de la surface libre de la mer ( $r_{p} \approx - 1$ , nœud de surpression).

3) Pour un grand contraste, $T ≃ 4/ x$ : $T \approx 0, 12$ (soit $- 9.2 d B$ ) de l'eau vers l'acier, contre $T \approx 1, 1 \times 1 0^{- 3}$ ( $- 29.5 d B$ ) de l'air vers l'eau. La coque renvoie $R \approx 88 %$ de la puissance incidente ( $- 0.55 d B$ seulement) : un écho intense, ce qui rend un navire ou un sous-marin bien visible au sonar, alors qu'un banc de poissons, d'impédance voisine de celle de l'eau, ne renvoie qu'un écho faible. Une coque réelle est une plaque d'épaisseur finie, dont l'étude complète fait intervenir ses deux faces.

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