Mesurer un coefficient de réflexion au banc d'hyperfréquences

1) $E_y=E_0\left[\cos (\omega t+kx)+r\cos (\omega t-kx)\right]$. En élevant au carré et en moyennant, avec $⟨{\cos }^2⟩=\frac{1}{2}$ et $⟨\cos (\omega t+kx)\cos (\omega t-kx)⟩=\frac{1}{2}\cos (2kx)$ :

$$⟨E_y^2⟩=\frac{E_0^2}{2}\left[1+r^2+2r\cos (2kx)\right].$$

2) Des minima nuls exigent $1+r^2-2\left|r\right|=0$, soit $\left|r\right|=1$ ; un minimum sur la plaque ($\cos 0=1$) exige $r<0$ : $r=-1$, et $S\propto 1-\cos (2kx)=2{\sin }^2(kx)$. Les minima sont distants de $\lambda /2$ : dix intervalles valent $150.0mm$, d'où $\lambda =30.0mm$ et $f=c/\lambda =10.0GHz$. Pointer dix intervalles plutôt qu'un divise par dix l'incertitude relative de pointage. Un métal a un indice de très grand module : $r=\frac{1-\underline{n}}{1+\underline{n}}\to -1$ ; le champ électrique est nul sur la plaque, c'est une onde stationnaire.

3) Avec $r<0$, les minima sont en $x=m\lambda /2$ (dont la plaque) et valent $\frac{E_0^2}{2}(1-\left|r\right|{)}^2$ ; les maxima, en $x=\lambda /4+m\lambda /2$, valent $\frac{E_0^2}{2}(1+\left|r\right|{)}^2$. Donc

$$\frac{S_{\max }}{S_{\min }}={\left(\frac{1+\left|r\right|}{1-\left|r\right|}\right)}^2=9,0⟹\frac{1+\left|r\right|}{1-\left|r\right|}=3⟹r=-0,50.$$

L'onde réfléchie se propageant dans le même milieu, la fraction réfléchie de la puissance vaut $R=r^2=0,25$ : la plaque absorbe (ou transmet) $1-r^2=75\%$ de la puissance incidente. On le retrouve sur le vecteur de Poynting : les termes croisés entre ondes incidente et réfléchie s'annulent, et $⟨{\Pi }_x⟩=-(1-r^2)\frac{E_0^2}{2{\mu }_{0}c}$, indépendant de $x$.