physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Terminer une corde sans écho : extrémité fixe, libre ou adaptée

Interfaces entre deux milieux · F. Adaptation d'impédance · niveau 2

Énoncé

Une corde de travaux pratiques, de masse linéique $μ = 1, 0 g m^{- 1}$ , est tendue avec la tension $T_{0} = 2, 0 N$ ; elle occupe la région $x < 0$ et l'on néglige la pesanteur. En $x = 0$ , elle est attachée à un anneau de masse négligeable, qui coulisse sans frottement solide le long d'une tige verticale ; l'anneau porte une palette plongée dans un bain d'huile, qui exerce sur lui la force de frottement visqueux $- b \frac{\partial y}{\partial t} (0, t) e_{y}$ , où $y (x, t)$ est le déplacement transverse de la corde et $b$ un coefficient réglable (en changeant la palette). On rappelle (cours) que la force transverse exercée en $x$ par la partie gauche de la corde sur la partie droite vaut $F = - T_{0} \frac{\partial y}{\partial x}$ , et que, pour une onde progressive vers les $x$ croissants, $F = Z \frac{\partial y}{\partial t}$ avec l'impédance $Z = T_{0} μ$ . On note $v_{i} (t)$ et $v_{r} (t)$ les vitesses transverses, en $x = 0$ , de l'onde incidente et de l'onde réfléchie, et $r = v_{r} / v_{i}$ le coefficient de réflexion en vitesse transverse. Pour la comparaison, on rappelle qu'un générateur de tension idéal $E$ en série avec une résistance $R_{g}$ (générateur de Thévenin) peut alimenter une résistance de charge $R$ .

1) Calculer la célérité $c$ des ondes sur la corde et son impédance $Z$ , avec son unité.

2) Écrire la condition imposée en $x = 0$ par l'anneau. En écrivant le déplacement sous la forme $y (x, t) = f (t - x / c) + g (t + x / c)$ , établir $r = \frac{Z - b}{Z + b} .$ Que vaut $r$ pour $b \to 0$ , pour $b \to \infty$ , pour $b = Z$ ? Quelle extrémité réalise-t-on dans chaque cas ?

3) Établir la fraction de la puissance moyenne incidente dissipée dans l'huile, en calculant directement la puissance de la force de frottement ; montrer qu'elle vaut $1 - r^{2}$ et qu'elle s'écrit $η (x) = \frac{4 x}{( 1 + x ) ^{2}}, x = \frac{b}{Z} .$ Tracer $η$ en fonction de $x$ , en échelle logarithmique pour $x$ ; maximum ; montrer la symétrie $η (1/ x) = η (x)$ .

4) Le générateur de Thévenin $(E, R_{g})$ alimente la résistance $R$ . Montrer que la puissance reçue par $R$ s'écrit $P = η (x) P_{m a x}$ avec $x = R / R_{g}$ , et préciser $P_{m a x}$ . Quelle analogie avec la corde ?

5) Quelle valeur faut-il donner à $b$ pour que la corde se termine sans écho ? Quelle fraction de la puissance incidente est réfléchie si, par erreur, $b$ vaut $Z /2$ ou $2 Z$ ? À quoi sert le « bouchon » de $50 Ω$ qu'on visse au bout d'un câble de mesure de $50 Ω$ ?

Corrigé

La stratégie. L'anneau sans masse impose une relation entre la force de la corde et la vitesse de son extrémité : l'amortisseur est une impédance de terminaison, $b$ , à comparer à celle de la corde. On écrit la condition avec la solution générale de d'Alembert, sans même supposer l'onde harmonique.

1) Célérité et impédance. $c = \frac{T _{0}}{μ} = \frac{2 , 0}{1 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = 44, 7 m s^{- 1},$ $Z = T_{0} μ = 2, 0 \times 1, 0 \times 1 0^{- 3} = 4, 47 \times 1 0^{- 2} kg s^{- 1},$ une force divisée par une vitesse, soit des $N s m^{- 1}$ , c'est-à-dire des $kg s^{- 1}$ .

2) La condition à l'extrémité. L'anneau est soumis à la force de la corde, qui est la force exercée en $x = 0$ par la partie gauche sur ce qui est à droite, soit $- T_{0} \frac{\partial y}{\partial x} (0, t)$ selon $e_{y}$ , à la réaction de la tige (horizontale, sans frottement solide) et au frottement visqueux. Sa masse étant nulle, la somme des composantes selon $e_{y}$ est nulle : $- T_{0} \frac{\partial y}{\partial x} (0, t) - b \frac{\partial y}{\partial t} (0, t) = 0.$ Avec $y = f (t - x / c) + g (t + x / c)$ , on a en $x = 0$ : $\frac{\partial y}{\partial t} = f^{'} (t) + g^{'} (t) = v_{i} + v_{r}$ et $\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{- f ^{'} ( t ) + g ^{'} ( t )}{c}$ . Comme $T_{0} / c = T_{0} μ = Z$ , la condition devient $Z (v_{i} - v_{r}) = b (v_{i} + v_{r}) ⟹ r = \frac{v _{r}}{v _{i}} = \frac{Z - b}{Z + b},$ valable à chaque instant, pour toute forme d'onde. C'est la forme du coefficient de réflexion d'une grandeur de flux, $\frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ , avec $Z_{2} = b$ : l'amortisseur est une impédance (rapport de la force qu'il faut exercer sur lui à sa vitesse).

$b \to 0$ : $r = + 1$ , l'anneau glisse librement, c'est l'extrémité libre (ventre de vitesse, l'onde revient sans inversion) ;
$b \to \infty$ : $r = - 1$ , l'anneau est bloqué, c'est l'extrémité fixe (nœud, onde réfléchie inversée) ;
$b = Z$ : $r = 0$ , aucun écho. La corde « croit » se prolonger à l'infini : la partie droite d'une corde infinie, parcourue par une onde progressive, exerce sur la partie gauche la force $- Z \frac{\partial y}{\partial t}$ , exactement celle de l'amortisseur. On dit que la terminaison est adaptée.

3) La puissance absorbée. L'onde incidente transporte vers la droite la puissance $P_{i} = F v = Z v_{i}^{2}$ (force exercée par la gauche sur la droite, fois la vitesse du point d'application). La force de frottement reçoit de l'anneau la puissance $P_{d} = b v (0, t)^{2}$ , avec $v (0, t) = v_{i} + v_{r} = (1 + r) v_{i} = \frac{2 Z}{Z + b} v_{i}$ . D'où, en moyenne comme à chaque instant, $\frac{P _{d}}{P _{i}} = \frac{b}{Z} (1 + r)^{2} = \frac{b}{Z} \frac{4 Z ^{2}}{( Z + b ) ^{2}} = \frac{4 Z b}{( Z + b ) ^{2}} = \frac{4 x}{( 1 + x ) ^{2}} = η (x) .$ Et $1 - r^{2} = \frac{( Z + b ) ^{2} - ( Z - b ) ^{2}}{( Z + b ) ^{2}} = \frac{4 Z b}{( Z + b ) ^{2}}$ : ce qui n'est pas réfléchi est dissipé, l'anneau sans masse ne stockant rien. La dérivée $η^{'} (x) = \frac{4 ( 1 - x )}{( 1 + x ) ^{3}}$ s'annule en $x = 1$ : maximum $η = 1$ pour $b = Z$ . Enfin $η (1/ x) = \frac{4/ x}{( 1 + 1/ x ) ^{2}} = \frac{4 x}{( x + 1 ) ^{2}} = η (x)$ : un amortisseur deux fois trop fort coûte autant qu'un amortisseur deux fois trop faible, d'où la courbe symétrique en échelle logarithmique.

$x = b / Z$	$0, 01$ ou $100$	$0, 1$ ou $10$	$0, 25$ ou $4$	$0, 5$ ou $2$	$1$
$∣ r ∣$	$0, 980$	$0, 818$	$0, 600$	$0, 333$	$0$
$η$	$0, 039$	$0, 33$	$0, 64$	$0, 89$	$1$

4) Le générateur et sa charge. Le courant vaut $I = \frac{E}{R _{g} + R}$ et la puissance reçue par la charge $P = R I^{2} = \frac{R E ^{2}}{( R _{g} + R ) ^{2}} = \frac{E ^{2}}{4 R _{g}} \cdot \frac{4 R R _{g}}{( R _{g} + R ) ^{2}} = P_{m a x} η (x), x = \frac{R}{R _{g}}, P_{m a x} = \frac{E ^{2}}{4 R _{g}} .$ Même courbe, même conclusion : la charge reçoit le maximum quand elle est adaptée, $R = R_{g}$ , et elle n'en reçoit alors que la moitié de ce que fournit $E$ (l'autre moitié chauffe $R_{g}$ ). La résistance interne joue le rôle de l'impédance de la corde, la charge celui de l'amortisseur ; une charge trop faible (presque un court-circuit) ou trop forte (presque un circuit ouvert) reçoit peu, comme l'extrémité fixe ou libre.

5) Application. Sans écho, il faut $b = Z = 4, 47 \times 1 0^{- 2} N s m^{- 1}$ . Avec $b = Z /2$ , $r = \frac{1 - 1/2}{1 + 1/2} = + \frac{1}{3}$ ; avec $b = 2 Z$ , $r = - \frac{1}{3}$ ; dans les deux cas $r^{2} = \frac{1}{9}$ , soit $11 %$ de la puissance réfléchie, $89 %$ absorbée : l'adaptation est tolérante, la courbe est plate près de son maximum. Le bouchon de $50 Ω$ joue pour le câble le rôle de l'amortisseur adapté : il absorbe toute l'onde qui arrive au bout, et aucun écho ne revient perturber la mesure ou les autres appareils branchés sur le câble.

Ce que l'exercice installe. Une extrémité est une impédance : fixe (infinie), libre (nulle) ou adaptée (égale à celle de la corde), et seule la dernière ne renvoie pas d'écho. La fraction absorbée $η (x) = \frac{4 x}{( 1 + x ) ^{2}}$ ne dépend que du rapport des impédances ; elle est la même pour une corde, deux fluides ou un générateur et sa charge, maximale à l'adaptation, et tolérante autour.

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